szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 16:23 
Użytkownik

Posty: 92
Czy ktoś wie, w jaki sposób dowieść, że 2222^{5555} -  5555^{2222} jest liczbą podzielną przez 7?

Zauważyłem, że 2^{5} - 5^{2} jest podzielne przez 7 i postawiłem hipotezę, że
zwielokrotnianie 2 i 5 tego nie zmienia. Myślę, że trzeba by to wykorzystać,
ale na tym utknąłem już na zbyt długi czas.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 16:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10614
Lokalizacja: Wrocław
Ktoś na pewno wie.
Mamy 2222\equiv 3\pmod{7} oraz 5555\equiv 4\pmod{7}, więc 2222^{5555}\equiv 3^{5555}\pmod{7} i 5555^{2222}\equiv 4^{2222}\pmod{7}.
Z Małego Twierdzenia Fermata mamy zaś 3^{6}\equiv 1\pmod{7} oraz 4^{6}\equiv 1\pmod{7}. Wystarczy więc stwierdzić, że 2222\equiv 2\pmod{6} oraz 5555\equiv 5\pmod{6} i pobawić się wykładnikami (rozpisać do odpowiedniej postaci). Dokończ, proszę, samodzielnie.

A może nie znasz MTF? Jeśli tak, to zaraz pomyślę...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 1278
Teza jest nieprawdziwa. Może znak działania jest zły?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 17:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10614
Lokalizacja: Wrocław
Fakt. :| Zadanie w (prawdopodobnie) poprawnej wersji pojawiło się już na forum, zostało też rozwiązane:
57522.htm#p226835

Zadanie 4.

-- 31 sie 2015, o 17:41 --

Ech, nie ten link, no ale trudno, zadanie jest w tym samym temacie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 92
Przepraszam. Zadanie faktycznie było źle zapamiętane, a przypuszczenia z ostatniego posta są prawdziwe. Nie wiązałem jednak tego zadania z tą olimpiadą. Poznałem je z innego źródła.
Nie robiłem jeszcze takich zadań z Małego Twierdzenia Fermata, ale myślę, że powinienem już
zrozumieć rozwiązanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl