szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2005, o 18:36 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Wzory na pierwiastek dowolnej liczby


Jestem wprost przekonany, że niejednokrotnie mieliście do czynienia z zadaniami typu:

Udowodnij, że liczba \large \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}} jest liczbą naturalną.

Lepiej poinformowani wiedzą, że powyższe wyrażenia, to kwadraty pewnych liczb rzeczywistych i trzeba je tylko odnaleźć, spierwiastkować i niewymierności nam znikają. Chociażby w tym przykładzie.

\large \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}} = \sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1 = 2

A 2 jest niewątpliwie liczbą naturalną.

Ów przykład był jednak prosty. Gorzej, gdy mamy wyciągnąć pierwiastek z czegoś takiego: 57-40\sqrt{2}. Dużo się trzeba z tym nakombinować i dlatego też stworzyłem wzory, które problem rozwiązują.

Mamy daną liczbę w postaci a+b\sqrt{c}, a pierwiastek z tej liczby jest równy \sqrt{x}+\sqrt{y}, czyli sumie dwóch pierwiastków.

Mamy więc równość \sqrt{a+b\sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.
Stąd wynikają oczywiste założenia, że x i y muszą być nieujemne, ponadto c jest naturalne i różne od kwadratu liczby całkowitej. Również możemy śmiało założyć, że liczby a i b są dodatnie i również naturalne. O pozostałych przypadkach podyskutujemy na końcu :-).
Po zrobieniu sobie takich założeń możemy podnieść tą równość stronami do kwadratu, otrzymujemy:
a+b\sqrt{c} = x+y+2\sqrt{xy} \\ a+\sqrt{b^{2}c} = x+y+\sqrt{4xy}
Ponieważ x i y nie mogą obie być naraz kwadratami liczb całkowitych, ale także ich iloczyn nie może być kwadratem liczby całkowitej (i nie dlatego, że nie, bo nie, tylko spójrzcie na pierwsze równanie ;)). Stąd też aby powyższe równanie mogło zachodzić, to musi być spełniony taki układ równań:
x+y = a \\ 4xy = b^{2}c
Teraz wstawimy sobie z pierwszego za y do drugiego i mamy ładne równanko kwadratowe:
y=a-x \\ 4x(a-x) = b^{2}c \\4xa - 4x^2 - b^{2}c = 0 \\ 4x^{2} - 4ax +b^{2}c = 0 \\ \Delta = 16a^{2} - 16b^{2}c = 16(a^2 - b^{2}c)
Pasuje nam teraz poczynić założenie, że a^{2}-b^{2}c  \geqslant 0, aby uniknąć jakiejś dziwnej zespolonej niespodziewajki. Stąd też pierwszy wniosek, że dla pewnych a,b i c nie uda się nam takiego pierwiastkowania przeprowadzić - smutne to niezmiernie, jednak nie poddajemy się, tylko brniemy dalej:
x_{1} = \frac{4a-4\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{8} = \frac{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{2} \\ x_{2} = \frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{2}
O dziwo oba pierwiastki spełniają nasze założenia, bo oba są nieujemne, a chcelibyśmy mieć tylko jeden, ale nic to, policzmy ygreki:
y_{1} = a-x_{1} = \frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{2} \\ y_{2} = a-x_{2} = \frac{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{2}
No i sprawa się rozwiązała, bo mimo, że otrzymaliśmy dwie pary rozwiązań, to tak naprawdę różnią się one tylko kolejnością zmiennych, możemy więc śmiało sobie na przykład przyjąć, że rozwiązaniem naszego układu jest ta para z jedynkami w indeksie, czyli
x=\frac{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{2} \\ y = \frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}{2}

Mamy więc upragnione wzory, to teraz pokuśmy się o małą analizę.

Jeśli delta nie jest kwadratem liczby całkowitej, to w sumie na nic nam się te wzory nie przydadzą, bo otrzymamy postać równie skomplikowaną jak początkowa.
Przykład I:
\sqrt{2+\sqrt{2}}. Mamy a = 2, b = 1 i c = 2. Stosujemy wzory i otrzymujemy:
x = \frac{2-\sqrt{2}}{2} \\ y = \frac{2+\sqrt{2}}{2}
Czyli otrzymujemy \sqrt{2+\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}
Nic atrakcyjnego.

Aby poprawić sobie humor, spierwiastkujmy to, co podałem na początku jako 'trudne', tylko weźmy z plusem w środku (póki co innych nie umiemy).
Przykład II:
\sqrt{57+40\sqrt{2}} a = 57, b = 40, c = 2.
x = \frac{57-\sqrt{57^{2}-40^{2} \cdot c}}{2} = \frac{57 - \sqrt{49}}{2} = \frac{50}{2} = 25 \\ y = \frac{57+\sqrt{49}}{2} = \frac{64}{2} = 32
Stąd więc mamy ślicznie: \sqrt{57+40\sqrt{2}} = \sqrt{25} + \sqrt{32} = 5 + 4\sqrt{2}

Może komuś teraz cisnąć się na usta pytanie: dlaczego przedstawiamy taki pierwiastek w postaci sumy pierwiastków, skoro i tak zazwyczaj, jeśli już udaje się takie coś spierwiastkować, to jest postaci m+n\sqrt{c}? Następny przykład jest tym, który zmusił mnie do takiego postawienia problemu i odpowiada on doskonale na powyższe pytanie.
Przykład III:
\sqrt{8+2\sqrt{15}} a = 8, b = 2, c = 15
x = \frac{8-\sqrt{64-60}}{2} = \frac{8-2}{2} = 3 \\ y = \frac{8+\sqrt{4}}{2} = 5
I ostatecznie \sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5}

Teraz wypada podyskutować o poczynionych na początku założeniach. Gdybyśmy mieli a ujemne, to wtedy nieco się wzory zmienią, bo wystartujemy ze wzoru: \sqrt{b\sqrt{c}-|a|} = \sqrt{x} + \sqrt{y}, jednak całe wyprowadzanie jest zupełnie analogiczne, więc polecam je sobie przeprowadzić :-).
Gdyby z kolei b było ujemne, co trafia się bardzo często, jak chociażby w przykładzie podanym przeze mnie, to zauważmy, że równanie a + b\sqrt{c} = x + y + 2\sqrt{xy}, dla b ujemnego przyjmuje postać: a - |b|\sqrt{c} = x + y + 2\sqrt{xy}, czyli jest najzwyczajniej w świecie sprzeczne, bo po lewej stronie przy pierwiastku stoi liczba ujemna, a po prawej dodatnia. Zaradzimy temu pisząc pierwsze równanie w postaci \sqrt{a - |b|\sqrt{c}} = |\sqrt{x} - \sqrt{y}|. Również polecam się zabawić z wyprowadzaniem tego, acz tutaj ładnie wyjdzie (używając poprzednich oznaczeń), że \sqrt{a - |b|\sqrt{c}} = \sqrt{y}-\sqrt{x}.

Pozostaje jeszcze omówić kwestię, gdyby liczby a, b i c nie były naturalne (ewentualnie całkowite, co rozważyliśmy przed chwilką), lecz wymierne. Powiedzmy cuś w stylu:
\sqrt{\frac{a}{k} + \frac{b}{l}\sqrt{\frac{c}{m}}}
Oczywiście k, l i m naturalne dodatnie, ponadto \frac{c}{m} nie jest kwadratem liczby wymiernej i jeśli m nie jest kwadratem liczby całkowitej, to pozbywamy się niewymierności z mianownika:
\sqrt{\frac{a}{k}+\frac{b}{lm}\sqrt{cm}}
Teraz przez w oznaczmy NWW liczb k i lm, czyli w = NWW(k, lm). Wtedy ostatecznie otrzymujemy:
\frac{1}{\sqrt{w}}\sqrt{a\frac{w}{k} + b\frac{w}{lm}\sqrt{cm}}
I to już można spokojnie traktować poprzednimi wzorami.

Na tym na razie zakończę te rozważania.


W razie ewentualnych błędów lub uzupełnień, proszę o pilny kontakt.

[Utworzono: 9 lutego 2005 o 18:36]
[Ostatnia modyfikacja: 22 marca 2009 o 19:26]
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 wrz 2014, o 15:46 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warmia
Pozwolę sobie na komentarz. Liczby postaci a+b\sqrt{c} to ogólna postać liczb algebraicznych stopnia drugiego, tzn. ich wielomian minimalny ma stopień dwa.

W ogólnym wypadku liczby \sqrt{a+b\sqrt{c}} to, jak się nietrudno domyśleć, liczby algebraiczne stopnia czwartego. Właśnie dlatego mogą się upraszczać do \sqrt{x}+\sqrt{y}, a niekoniecznie do stopnia tylko dwa: p+q\sqrt{r}.

To inne powiedzenie tego samego, ale może trochę rozjaśnić, zwłaszcza tym co mieli styczność z uniwersytecką algebrą lub teorią liczb. Wzory są bardzo pomocne i wielkie dzięki za ich wprowadzenie.

Jeszcze jedna uwaga: mol_ksiazkowy ma w podpisie fantastyczną, zaskakującą tożsamość z pierwiastkami zagnieżdżonymi trzykrotnie – czyli odpowiada to liczbom stopnia nawet ósmego.

Pozdro.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przekształć wzory  Marcin511  4
 Oblicz stosując wzory skróconego mnożenia  Interp  5
 Ciekawe zadanie z grawitacji  nicik  3
 Ciekawe zadanie na udowodnienie i na okręgach.  Widzu  4
 wzory trygonometryczne  anuska2712  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl