szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 13:58 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Nie mamy podanych długości trójkąta, a więc bez straty ogólności możemy założyć, że przeciwprostokątna wynosi 3+4=7. Pole koła opisanego wynosi 49/4 \pi. Niech wierzchołek przy kącie prostym będzie A, wierzchołek przy dłuższej przyprostokątnej B, krótszej C. Spodek dwusiecznej z kąta prostego na bok BC oznaczmy D. Spodek promienia na bok BC oznaczmy E. Wtedy odległość |DE| oznaczmy x. Wtedy bok AB jest równy 4+x+r i bok BC jest równy 3-x+r. Z twierdzenia Pitagorasa mamy \left( 4+x+r\right) ^{2}+\left( 3-x+r\right) ^{2}=7 ^{2}. Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABD mamy: \frac{4}{\sin 45}= \frac{4+x+r}{\sin \left( 135 - \alpha \right) }. Po rozpisaniu dostajemy z tego 4\cos \alpha + 4\sin \alpha =4+x+r. Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD mamy: \frac{3}{\sin 45}= \frac{3-x+r}{\sin\left( 45+\alpha \right) }. Po rozpisaniu dostajemy zależność 4\cos \alpha + 4\sin \alpha =\left( 3-x+r\right)  \frac{4}{3}. Po odjęciu od siebie tych równań i uporządkowaniu otrzymujemy x=1/7r. Wstawiając to do pierwszego równania i uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe: 25r ^{2}+175r-294=0. Z tego otrzymujemy dwie odpowiedzi jedna mniejsza od zera, którą odrzucamy i druga r=7/5. Z tego pole koła wpisanego wynosi \frac{49}{25}\pi. Stąd iloraz obu pól wynosi 25/4.

Jeśli można byłoby to zadanie zrobić szybciej lub prościej proszę o komentarz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 14:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
da się o wiele szybciej

z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że stosunek przyprostokątnych wynosi \frac 34, tzn. boki tego trójkąta to a=3x, b=4x, c=5x dla pewnego x\in \mathbb R

promień okręgu opisanego to połowa przeciwprostokątnej, czyli \frac c2 = \frac 52 x, a promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wyraża się wzorem \frac{a+b-c}{2} a to jest równe x

poszukiwany iloraz pól wynosi \frac{\pi \left(\frac 52x\right)^2}{\pi x^2}=\frac{25}4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
no ok, ale skąd wzór na promień wpisanego \frac{a+b-c}{2}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
narysuj trójkąt prostokątny i poprowadź odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności z bokami

masz teraz na rysunku taki kwadrat, którego bok jest równy promieniowi a prócz tego masz jeszcze kilka równych odcinków (styczne do okręgu poprowadzone z wierzchołków); wystarczy teraz trochę porachować i wyjdzie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwusieczna kata prostego  soku11  2
 dwusieczna kąta prostego  pagi1991  4
 Dwusieczna kąta prostego - zadanie 2  Grzybcio  1
 miara łukowa kąta - zadanie 3  mateusz.ex  1
 Dwusieczna kąta i PomPe  Zahion  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl