szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Dane są długości boków a i b trójkąta. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Kąt naprzeciw boku c oznaczmy 2\alpha. Kąt naprzeciw boku b, \alpha. Kąt naprzeciw a, 180-3\alpha. Wtedy z twierdzenia sinusów mamy \frac{a}{\sin \left( 180-3\alpha \right) }= \frac{b}{\sin \alpha}. Z tego po rozpisaniu dostajemy \sin \alpha= \sqrt{ \frac{3b-a}{4b} }. Z tego \cos \alpha = \sqrt{ \frac{a+b}{4b} }. Z tego \cos 2\alpha =  \frac{a-b}{2b}. I teraz z twierdzenia cosinusów dostajemy c ^{2}=a ^{2}+b ^{2}-2ab\cos 2\alpha. Z tego dostajemy c= \sqrt{b\left( a+b\right) }.

Jeżeli można to zadanie zrobić szybciej lub prościej proszę o komentarz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 22497
Lokalizacja: piaski
Masz ok.

A szybciej miałbyś korzystając z kątów \alpha i 2\alpha.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Czy aby na pewno miałbym szybciej? Jeśli ułożyć twierdzenie sinusów dla kątów \alpha i 2\alpha to dostaniemy \frac{c}{\sin \left( 2\alpha \right) }= \frac{b}{\sin \alpha} i mamy jedno równanie z dwoma niewiadomymi. Teraz wstawiając to do twierdzenia cosinusów to musimy jeszcze przekształcić równanie wyłuskując c. To chyba nie będzie szybciej. Zgadza się?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 22:23 
Użytkownik

Posty: 22497
Lokalizacja: piaski
Nie zgadza się.

Patrz - cosinusy.

b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \frac{c}{2b}

b^2-a^2=c^2\left(\frac{b-a}{b}\right)

c^2=\frac{(b-a)(b+a)b}{b-a}

...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No ta faktycznie. Twierdzenie cosinusów dla innych boków(a i c).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 odległość punktu A od boków  1710  1
 Oblicz długości odcinków...  Daab  0
 podaj przykłady długości boków dwóch trójkątów..  karinas15  1
 Długość boków pewnego trójkąta  malvis  2
 Oblicz długości boków - zadanie 7  kamil13151  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl