szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2015, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Pewne trzy wierzchołkin-kąta foremnego są wierzchołkami trójkąta o kątach \alpha, \beta, \gamma. Na podstawie tych kątów muszę określić jaki to wielokąt foremny.
Dla \alpha=40^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=80^\circ powinienem otrzymać 9 kąt foremny, dla \alpha=20^\circ, \beta=50^\circ, \gamma=110^\circ, 18 kąt itp.

Do tej pory wypisałem wzory na kąt wewnętrzny n-kąta foremnego, kąt środkowy oraz kąt wpisany i próbowałem jakoś połączyć wynik z podanymi kątami, jednakże nawet i w ten sposób nie potrafię otrzymać odpowiednich rezultatów.
Ostatecznie podstawiałem każdy z tych kątów pod wszystkie te wzory i sprawdzałem, czy wyjdzie poprawny wynik czasem się udało, jednakże ten sposób rozwiązywania tego zagadnienia niezbyt mnie zadowala.

kąt wewnętrzny \theta=\frac{180^\circ(n-2)}{n}
kąt środkowy \eta=\frac{360^\circ}{n}
kąt wpisany \psi=\frac{\eta}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2015, o 15:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie można tego jednoznacznie stwierdzić. Dla \alpha=40^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=80^\circ może być to 9-kąt, 18-kąt foremny itp.
Rozpatrzmy trzy ułamki \frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{s_1}{n_1}, \frac{\beta}{360^\circ}=\frac{s_2}{n_2}, \frac{\gamma}{360^\circ}=\frac{s_3}{n_3}, gdzie \frac{s_k}{n_k} jest ułamkiem nieskracalnym, dla k=1,2,3.
Niech d=NWW(n_1,n_2,n_3). Wtedy jednym z wielokątów foremnych, które spełniają te warunki to d-kąt foremny, a ogólna postać takiego wielokąta, to d\cdot t-kąt foremny, gdzie t\in N_+.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2015, o 12:15 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Warszawa
wallace, narysuj trójkąt o kątach \alpha=40^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=80^\circ i okrąg opisany na nim. Popatrz na kąty wpisane i środkowe (które są dwa razy większe od wpisanych). Na tej podstawie dojdziesz do wniosku, że kąt środkowy tego wielokąta może być tylko wspólnym dzielnikiem kątów 2 \alpha, \ 2 \beta, \ 2 \gamma, a tych dzielników jest trochę - dokładnie tyle, ile jest możliwych wielokątów foremnych.

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2015, o 16:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie do końca masz rację Dilectus. Pierwszy problem jest taki, że 2\alpha, 2\beta, 2\gamma wcale nie muszą być liczbami całkowitymi, więc nie możemy mówić o dzielnikach. Druga sprawa jest taka, że tych wielokątów foremnych będzie nieskończenie wiele.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2015, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Michalinho, w treści zadania jest jeszcze napisane żeby podać najmniejszą liczbę naturalną n  \ge 3, myślałem że to nie jest istotne błąd nowicjusza :) . Więc gdy możemy mieć 9 lub 18 to wybierzemy 9. Możesz mi jeszcze powiedzieć, czym jest s_{k}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2015, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Warszawa
Michalinho napisał(a):
[...] Pierwszy problem jest taki, że 2\alpha, 2\beta, 2\gamma wcale nie muszą być liczbami całkowitymi [...]

Nie muszą. Mówię tylko, że to podwojone kąty \alpha, \beta, \gamma trójkąta, bo są to kąty środkowe, dwukrotnie większe od kątów wpisanych \alpha, \beta, \gamma. W dodatku ich suma jest kątem pełnym. :)

-- 7 wrz 2015, o 20:02 --

Zrób rysunek, który proponowałem, to zobaczysz. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 10:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Dilectus napisał(a):
Na tej podstawie dojdziesz do wniosku, że kąt środkowy tego wielokąta może być tylko wspólnym dzielnikiem kątów 2 \alpha, \ 2 \beta, \ 2 \gamma...


Mówisz o dzielnikach, a to nie muszą być liczby całkowite.

Dilectus napisał(a):
Zrób rysunek, który proponowałem, to zobaczysz. :)


Nie muszę, bo widzę to bez rysunku ;) I właśnie dlatego zwracam na to uwagę.

wallace napisał(a):
Michalinho, w treści zadania jest jeszcze napisane żeby podać najmniejszą liczbę naturalną n \ge 3, myślałem że to nie jest istotne błąd nowicjusza :) . Więc gdy możemy mieć 9 lub 18 to wybierzemy 9. Możesz mi jeszcze powiedzieć, czym jest s_{k}?


\frac{s_k}{n_k} to ułamek nieskracalny równy \frac{\alpha}{360^\circ} dla k=1, \frac{\beta}{360^\circ} dla k=2, \frac{\gamma}{360^\circ} dla k=3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Ostatecznie poprawne wyniki wychodzą mi gdy skorzystam ze wzoru na kąt wpisany tj:
\frac{180^{\circ}}{n}=NWD(40,60,80)=20  \rightarrow  n=9.
Choć sposób w jaki doszedłem do tego rezultatu pozostawia wiele do życzenia, dzięki za pomoc. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2015, o 11:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
wallace napisał(a):
Ostatecznie poprawne wyniki wychodzą mi gdy skorzystam ze wzoru na kąt wpisany tj:
\frac{180^{\circ}}{n}=NWD(40,60,80)=20  \rightarrow  n=9.
Choć sposób w jaki doszedłem do tego rezultatu pozostawia wiele do życzenia, dzięki za pomoc. :)

Ten sam kłopot co w rozumowaniu Dilectusa. W tym konkretnym przypadku kąty wyrażone w stopniach są całkowite, ale w ogólności tak nie jest, więc twój wzór nie będzie miał sensu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt, tales  joasska18  1
 Obliczanie promienia wpisanego w trójkąt  Kczub  14
 Trojkat wpisany w okrag, Oblicz katy.  ArQo  1
 [Trójkąt równoramienny] - Jak wyliczyć wysokość...  Setesh  7
 Promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy 2  oczko991  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl