szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2015, o 13:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 805
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Witam. Rozwiązuje takie oto zadanie. Wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to p ^{2}-1 jest liczba podzielną przez 24. Wiem że liczba p jest liczba nieparzystą. Dlatego iloczyn (p-1)(p+1)jest iloczynem dwóch liczb parzystych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2015, o 14:00 
Moderator

Posty: 1900
Lokalizacja: Trzebiatów
Masz iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych, jedna podzielna przez ... druga podzielna przez ... ( zobacz na liczby kolejne parzyste, mianowicie 2,4 ... 6,8 ... , 100, 102 ).
Rozpatrz reszty z dzielenia przez 3 jeszcze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2015, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
Paweł, najpierw zobacz, żeby liczba była podzielna przez 24, to liczba musi być podzielna prze np. 4 i 6.
mamy podaną D p \in \left\{ 5,7,11,13,...\right\}
więc jeżeli p^2-1=(p-1)(p+1), to widzimy, że iloczyn dwóch KOLEJNYCH LICZB liczb parzystych, z których jena musi (uwzględniając dziedzinę) być podzielna przez 4, a druga 2 i 3, czyli 6, czyli p^2-1 jest podzielna przez 24. CbdU
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 wrz 2015, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 1274
Nie, nic tu nie zostało udowodnione.
Maciej19974 napisał(a):
iloczyn dwóch KOLEJNYCH LICZB liczb parzystych, z których jena musi (uwzględniając dziedzinę) być podzielna przez 4, a druga 2 i 3
Ten wniosek jest nieuprawniony.
Równie dobrze jeden z czynników może być podzielny przez 12 lub nawet 24, a drugi tylko parzysty. Przykłady: p=23,37,47,73.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2015, o 16:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Sprawdzam co się dzieje dla p=5: p^2 - 1 = 24 i teza zadania jest spełniona.
Każda liczba pierwsza p, \left( p>5\right) jest postaci 6k+1 lub 6k+5 (inne, tj. 6k , 6k+2 , 6k+3 i 6k+4, gdzie k\in\NN, są podzielne albo przez 2, albo przez 3, albo przez 2 i 3).

Niech p=6k+1. Wtedy:
p^2 - 1 = \left( 6k+1\right)^2 - 1 = 36k^2 + 12k + 1 -1 = 12k\left( 3k+1\right).
Teraz należy sprawdzić, co się dzieje w przypadku gdy:
1. k jest liczbą parzystą, czyli postaci: k=2m
2. k jest liczbą nieparzystą, czyli postaci: k=2m+1

Niech p=6k+5. Wtedy:
p^2 - 1 = \left( 6k+5\right)^2 - 1 = 36k^2 + 60k + 25 -1 = 12k\left( 3k^2+5k\right) + 24
Teraz podobnie jak wcześniej wystarczy sprawdzić dwa przypadki, które podałem wyżej.

Jeśli za każdym razem liczba będzie podzielna przez 24, to teza zadania jest spełniona. :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2015, o 16:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 358
Lokalizacja: Pomorskie
Myślę, że jednak dużo łatwiej jest spostrzec, że wśród liczb p-1, p, p+1 dokładnie jedna jest podzielna przez 3 (i nie jest to liczba p co wynika z założeń) i co najmniej jedna jest podzielna przez 2. Jednak jako, że liczba p jest pierwsza to liczby p-1 i p+1 są kolejnymi liczbami parzystymi, ponadto jedna z nich jest podzielna przez 4. Zatem p ^{2}-1=2 \cdot 3 \cdot 4k=24k gdzie k \in N.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl