szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 7 wrz 2015, o 17:59 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Z punktu P należącego do boku AB trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzielącą trójkąt na dwie figury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem AP, jeśli |AP|:|PB|=m i m różne od 1.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Oznaczmy przez M środek boku AB. Wówczas odcinek MC dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. Jeśli będziemy przesuwać punkt P po boku AB w kierunku B to półprosta z punktu P dzieląca trójkąt na 2 trójkąty o równych polach będzie przecinać odcinek MC w punkcie O i bokAC w punkcie N. Z tego wynika, że trójkąty PMO i NCO muszą mieć równe pola. Dla uproszczenia możemy założyć, że |AP|+|PB|=1 i |AP|:|PB|=m, z tego mamy, że |PB|= \frac{1}{m+1} i |AP|= \frac{m}{m+1}. Stąd ocinek |MP|= \frac{m-1}{2m+2}. Jeśli oznaczymy |MO|=x |PO|=W |NO|=z |CO|=y to otrzymamy proporcję \frac{x}{z}= \frac{y}{w}, mamy też x+y= \frac{ \sqrt{3} }{2}. Po skorzystaniu z twierdzenia sinusów i drobnych przekształceniach otrzymujemy x= \frac{\left( m-1\right)\cos \beta }{\left( 2m+2\right)\ sin \beta }. Po dalszych przekształceniach otrzymujemy \tan \beta =  \frac{ \sqrt{3}m ^{2}+2 \sqrt{3}m-3 \sqrt{3}    }{3m ^{2}+6m+3 }, ale my szukamy tangensa kąta 90 - beta, a więc \tan \left( 90 - \beta\right)= \frac{3m ^{2}+6m+3  }{\sqrt{3}m ^{2}+2 \sqrt{3}m-3 \sqrt{3} } i to jest szukany kąt między półprostą, a odcinkiem AP. Jednak w odpowiedziach są dwie odpowiedzi, ta oraz druga \tan \left( 90 - \beta\right)= \frac{ \sqrt{3}\left( m+1\right) ^{2}   }{\left( 3m+1\right)\left( m-1\right)   }. Gdzie zgubiłem drugą odpowiedź?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 13:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Rozpatrzyłeś tylko przypadek, gdy N leży na odcinku AC. Wtedy równość pól PMO i NCO jest spełniona.
Proponuję to rozwiązać innym sposobem.
Rozwiązanie:    
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No a jaki może być inny przypadek? N może leżeć na boku AC albo BC. Ale to niczego nie powinno zmieniać.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie czytałem dokładnie, ale wydaje mi się, że korzystasz z równości pól PMO i NCO, która w drugim przypadku nie jest spełniona.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No, ale jak w drugim przypadku nie jest spełniona? Wychodzimy od tego, że wysokość z punktu C dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach. I potem za pomocą półprostej z punktu P przecinamy tą wysokość otrzymując 2 trójkąty, które powinny mieć równe pola, aby figury podzielone tą półprostą miały równe pola. Zgadza się?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 23:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Narysuj sobie i sprawdź sam zamiast pytać. Ja już sprawdziłem, teraz Twoja kolej ;)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No narysowałem i wydaje mi się, że te trójkąty muszą być równe.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 08:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie rozpatrujesz w swoim rozumowaniu przypadku, gdy P należy do półprostej MA, a robisz to dokładnie tu:
Dario1 napisał(a):
Stąd ocinek |MP|= \frac{m-1}{2m+2}.

Czyli |MP|=|MB|-|PB|, a to przecież oznacza, że P musi leżeć na półprostej MB.
W drugim przypadku |MP|=|PB|-|MB|.

Dario1 napisał(a):
No a jaki może być inny przypadek? N może leżeć na boku AC albo BC. Ale to niczego nie powinno zmieniać.


Uważaj na oznaczenia, bo zdefiniowałeś N=AC\cup PO i nie podzieliłeś tego na przypadki, więc zakładasz, że tak jest zawsze. To było mylące, stąd moje podejrzenie, że zgubienie wyniku wynikało z równości pól, która nie jest spełniona w drugim przypadku przy Twoim zdefiniowaniu punktu N, co również w konsekwencji mogło prowadzić do błędu.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Znaczy ja rozumiem, gdzie jest drugi przypadek. Otóż punkt P może leżeć na odcinku AM albo na odcinku MB. I tyle. I rozpisując to w ten sposób dostaję dwie odpowiedzi, poprawne jednak ze złym znakiem. Prosta PN zakreśla 2 kąty z ocinkiem AB. Dziwi mnie, że z jednej strony ten kąt jest dodatni, a z drugiej(równy co do wartości) ujemny. Otóż jeśli P leży na AM, to kąt MPO wychodzi ujemny, a kąt APO wychodzi dodatni, a dokładniej ich tangensy. To chyba nie powinno mieć znaczenia i powinny wychodzić dodatnie. Poza tym to się też nie zgadza pod tym względem, że kąt MPO jest ostry, a jego tangens wychodzi ujemny, powinno być na odwrót, a kąt APO jest rozwarty ,a jego tangens wychodzi dodatni, gdzie też powinno być odwrotnie.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 19:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Dario1 napisał(a):
Znaczy ja rozumiem, gdzie jest drugi przypadek. Otóż punkt P może leżeć na odcinku AM albo na odcinku MB. I tyle. I rozpisując to w ten sposób dostaję dwie odpowiedzi, poprawne jednak ze złym znakiem.


To znaczy, że rozwiązałeś już drugi przypadek i wyszła ci odpowiedź, ale ze zmienionym znakiem? Z tego co widzę, to w pierwszym wypadku otrzymałeś dobrą odpowiedź.

Dario1 napisał(a):
Prosta PN zakreśla 2 kąty z ocinkiem AB.


Zauważ, że w zadaniu nie bez powodu użyto słowa półprosta.

Dario1 napisał(a):
Dziwi mnie, że z jednej strony ten kąt jest dodatni, a z drugiej(równy co do wartości) ujemny.


Nic dziwnego. Przecież \tg(180^\circ -\alpha)=-\tg\alpha

Dario1 napisał(a):
Otóż jeśli P leży na AM, to kąt MPO wychodzi ujemny, a kąt APO wychodzi dodatni, a dokładniej ich tangensy. To chyba nie powinno mieć znaczenia i powinny wychodzić dodatnie.


Tak jak wyżej.

Dario1 napisał(a):
Poza tym to się też nie zgadza pod tym względem, że kąt MPO jest ostry, a jego tangens wychodzi ujemny, powinno być na odwrót, a kąt APO jest rozwarty ,a jego tangens wychodzi dodatni, gdzie też powinno być odwrotnie.


Skąd te wnioski? Przecież rozwiązałeś przypadek gdy P leży na MB. Wtedy \angle APO jest ostry i wszystko się zgadza, bo m>1 i wtedy \tg\alpha=\frac{\sqrt{3}(m+1)^2}{(m-1)(3m+1)}>0\Rightarrow 90^\circ>\alpha>0^\circ
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No ok zgadza się, ale czemu użyto słowa półprosta? I jakie to ma znaczenie?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 08:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Jak dla mnie to zastanawianie się, czy autor wystarczająco precyzyjnie się wyraził mówiąc o kącie między półprostą a odcinkiem jest zbędne, bo wynik przy różnych interpretacjach różni się tylko znakiem. Wskazałem gdzie masz błąd i zamieściłem inne rozwiązanie, więc jeśli nie masz pytań co do mojego rozwiązania i zrozumiałeś gdzie popełniłeś błąd, to tyle z mojej strony :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie to nie rozumiem samego początku mianowicie dlaczego P_{APO}=\frac{1}{2}P_{ABO}. Wydaje mi się, że ta równość nie będzie zachodzić. Zakładając, że oznaczenia są takie jak u mnie.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Z punktu P
PostNapisane: 12 wrz 2015, o 11:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Zamiast P_{APO} powinno być P_{APN} i zamiast P_{ABO}, P_{ABC}. Wtedy zachodzi, bo P_{APN}+P_{PBCN}=P_{ABC}\wedge P_{APN}=P_{PBCN}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie współrzędnych punktu na przeciwprostokątnej  conderus  2
 Obliczanie odległości wierzchołka od punktu styczności  lan3  1
 nazwa punktu  eDusia  1
 połóżenie punktu  marek12  0
 Trójkąt prostokątny obrany punkt.Obliczyć odcinek do punktu.  Adam_Mathe  5
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl