szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2015, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Niech f(x) =\frac{1}{x+1} oraz g_n(x) = x+ f(x)+ … + \underbrace{f( f( ….f(x)))}_{n}
Udowodnić, że
i) g_n(x) > g_n(y) gdy x>y>0
ii) g_n(1) = \frac{F_1}{F_2}+ … + \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2015, o 14:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Niech F_0=0, F_1=1, F_{k+1}=F_k+F_{k-1}.
Udowodnię, że f^n(x)=\frac{F_{n-1}x+F_n}{F_nx+F_{n+1}}. Dowód indukcyjny:
1^\circ f(x)=\frac{1}{x+1}=\frac{0\cdot x+1}{x+1}=\frac{F_0x+F_1}{F_1x+F_2}
2^\circ Niech f^k(x)=\frac{F_{k-1}x+F_k}{F_kx+F_{k+1}}. Wtedy:
f^{k+1}(x)=\frac{1}{\frac{F_{k-1}x+F_k}{F_kx+F_{k+1}}+1}=\frac{1}{\frac{F_{k-1}x+F_k+F_{k}x+F_{k+1}}{F_kx+F_{k+1}}}=\frac{F_kx+F_{k+1}}{F_{k+1}x+F_{k+2}} ckd
Stąd natychmiastowo wynika ii)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2015, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 13562
Lokalizacja: Bydgoszcz
Michalinho napisał(a):
Niech F_0=0, F_1=1, F_{k+1}=F_k+F_{k-1}.
Udowodnię, że f^n(x)=\frac{F_{n-1}x+F_n}{F_nx+F_{n+1}x}. Dowód indukcyjny:
1^\circ f(x)=\frac{1}{x+1}=\frac{0\cdot x+1}{x+1}=\frac{F_0x+F_1}{F_1x+F_2}
2^\circ Niech f^k(x)=\frac{F_{k-1}x+F_k}{F_kx+F_{k+1}x}. Wtedy:
f^{k+1}(x)=\frac{1}{\frac{F_{k-1}x+F_k}{F_kx+F_{k+1}}+1}=\frac{1}{\frac{F_{k-1}x+F_k+F_{k}x+F_{k+1}}{F_kx+F_{k+1}}}=\frac{F_kx+F_{k+1}}{F_{k+1}x+F_{k+2}} ckd
Stąd natychmiastowo wynika ii)


Ale popraw parę błędów w zapisie (troche za dużo x w mianownikach).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2015, o 15:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
a4karo napisał(a):
Michalinho napisał(a):
Niech F_0=0, F_1=1, F_{k+1}=F_k+F_{k-1}.
Udowodnię, że f^n(x)=\frac{F_{n-1}x+F_n}{F_nx+F_{n+1}x}. Dowód indukcyjny:
1^\circ f(x)=\frac{1}{x+1}=\frac{0\cdot x+1}{x+1}=\frac{F_0x+F_1}{F_1x+F_2}
2^\circ Niech f^k(x)=\frac{F_{k-1}x+F_k}{F_kx+F_{k+1}x}. Wtedy:
f^{k+1}(x)=\frac{1}{\frac{F_{k-1}x+F_k}{F_kx+F_{k+1}}+1}=\frac{1}{\frac{F_{k-1}x+F_k+F_{k}x+F_{k+1}}{F_kx+F_{k+1}}}=\frac{F_kx+F_{k+1}}{F_{k+1}x+F_{k+2}} ckd
Stąd natychmiastowo wynika ii)


Ale popraw parę błędów w zapisie (troche za dużo x w mianownikach).


Poprawione.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl