szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 17:39 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Gdańsk
Witam.

Jest następujące zadanie: Podaj kompletne wyliczenie współczynnika przyx ^{5} w wyrażeniu otrzymanym z ( \frac{1}{2} - 2x) ^{9}, po rozwinięciu zgodnie ze wzorem Newtona.

Czyli powinienem skorzystać z twierdzenia:

____________
TW.
Dla dowolnej liczby naturalnej n: (x+y) ^{n} =  \sum_{k=0}^{n}   {n \choose k} x ^{n-k}  y ^{k}

____________

i rozwinąć wyrażenie w taki sposób:


(-2x +  \frac{1}{2} ) ^{9}  =  {n \choose 0} (-2x) ^{9} +  {n \choose 1} (-2x) ^{9-1} \frac{1}{2}  +...

Przy czym gdy dojdę do 5 potęgi x ^{5}, to powinienem, stosując wzór:
{r \choose k}  =  \frac{r(r-1)(r-2)...(r-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3  \cdot ... \cdot k}

wyliczyć to, co będzie stało przy piątej potędze (-2x)?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 18:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
Nie musisz rozwijać. Wystarczy policzyć tylko jeden składnik {n \choose k} x ^{n-k} y ^{k dla n-k=5. Dalej liczysz tak jak napisałeś i mnożysz przez to, co jeszcze będzie stało przy x ^{5}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Gdańsk
A czy ( \frac{1}{2} - 2x) ^{9} powinienem brać do obliczeń jako(-2x + \frac{1}{2} ) ^{9}, gdzie x ze wzoru = -2x?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
Możesz brać dowolnie - za x lub y , bo dodawanie jest przemienne. Tylko patrz na odpowiednie potęgi przy zmiennych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Gdańsk
Zatem powinno być tak?


{9 \choose 4}  (\frac{1}{2}) ^{5}  (-2x) ^{4} = 254x

gdzie 9-k = 5
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 21:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
michalalex132 napisał(a):

{9 \choose 4}  (\frac{1}{2}) ^{5}  (-2x) ^{4} = 254x

gdzie 9-k = 5


Źle.
Po pierwsze wynik to 63x ^{4}
Po drugie, jeśli -2x podstawiłaś za y to przy nim jest potęga k, więc liczysz dla k=5 ( bo chcesz policzyć współczynnik przy x ^{5} a nie przy x ^{4}).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 12:22 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Gdańsk
Czyli:

{9 \choose 5}   \left( \frac{1}{2} \right) ^{4}  \left( -2x\right)  ^{5}

=

{9 \choose 4}   \left( -2x\right) ^{5}  \left(  \frac{1}{2} \right)  ^{4}

= -252x ^{5} ?

Zatem odp. to -252
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 19:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
tak
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2015, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 86
Lokalizacja: Gdańsk
A co, jeśli wykładnik jest ujemny, i trzeba policzyć np.:

(1-x) ^{-1} ?

Otrzymuję: {-1 \choose 0} - {-1 \choose 1}x + {-1 \choose 2} x ^{2}  -...+ (-1)^k {-1 \choose k}x^k

Tylko co można z tym zrobić dalej - tj. jak można policzyć dwumian Newtona z ujemnym n?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 wrz 2015, o 17:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4413
Lokalizacja: Łódź
a ^{-n}= \frac{1}{a ^{n} }, więc (1-x) ^{-1}= \frac{1}{1-x}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwumian Newtona Rozwiąż równanie  moss2  2
 Symbol Newtona-Udowodnij  aro11243  5
 Dwumian Newtona - zadanie 42  krisu  3
 Dwumian Newtona zadanko  r2b  1
 dwumian Newtona - zadanie 7  gunia  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl