szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 21:46 
Użytkownik

Posty: 92
Udowodnić, że jeśli liczby p i 8p^{2}+1, to również liczba 8p^{2}-1
jest pierwsza.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższego zadania.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 1278
8p^2+1=8(p+1)(p-1)+9 - to jest liczba pierwsza.
Przeanalizuj różne reszty z dzielenia liczby pierwszej p przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 22:09 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Zadanie przeczytałem tak :
Udowodnij, że jeżeli dwie pierwsze liczby są pierwsze, to trzecia też jest pierwsza.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 wrz 2015, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 1278
Słusznie. To rozwiązanie bazuje na tym, że zbiór liczb spełniających warunek zadania jest skończony.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 92
Liczba p jest pierwsza, więc możliwe reszty z dzielenia to: 1,2.
W każdym z tych przypadków liczba 8(p+1)(p-1) jest liczbą złożoną.
Wiemy, że 8p^{2}+1 jest pierwsza, więc po prawej stronie równości mamy też liczbę
pierwszą. Po prawej stronie równości mamy liczba złożona + 9 = liczba pierwsza.

Zbiór liczb spełniających warunki zadania jest skończony? Jak tego dowieść?
Co wnosi to do rozwiązania zadania?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 19:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Liczba p może dawać trzy reszty z dzielenia przez trzy: zero, jeden lub dwa. Jeżeli daje zero, to jest to p = 3 i spełnia warunki zadania. Jeżeli p \equiv \pm 1 \pmod 3 (zamieniłam dwa na minus jeden), to 8p^2 + 1 \equiv 8 \cdot 1 + 1 = 9 \equiv 0 \pmod 3, a przy tym 8p^2 + 1 \ge 33 (bo najmniejsza liczba, jaką możemy wstawić za p to 2). Czy liczba podzielna przez trzy i większa od trzydziestu może być pierwsza? Nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 92
Dziękuję za odpowiedź.
Gdzie mógłbym znaleźć więcej podobnych zadań?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl