szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 276
Witam Proszę o pomoc z takim zadaniem :

Z urny zawierającej n kul ponumerowanych od 1 do n gdzie n  \ge 11 losujemy bez zwracania 11 kul. Ich numery zapisane w kolejności losowania tworzą ciąg. Wyznacz prawdopodobieństwo otrzymania ciągu monotonicznego którego jednym z wyrazów jest 11.

Rozumiem o co chodzi w samym zadaniu, dwa warunki - ciąg malejący i rosnący ( wydaje mi się że można obliczyć np. dla samego rosnącego i pomnożyć razy dwa) ale kompletnie nie mam pojęcia jak to rozpisać i dlaczego.

Z góry dzięki i pozdrawiam !
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 23:19 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Polska
Najpierw policzmy ciągi 11-elementowe, których elementy należą do [n] (czyli zbioru od 1 do n).
{n \choose 11} \cdot 11!, bo wybieramy elementy do ciągu i permutujemy je.

Teraz trzeba zauważyć, że ilość ciągów ściśle monotonicznych (losujemy bez zwracania, elementy się nie powtórzą) o k elementach ze zbioru o m elementach jest dokładnie tyle, co k elementowych podzbiorów zbioru mocy m, bo elementy podzbioru możemy jednoznacznie ustawić w ciąg monotoniczny.

W zadaniu szukamy monotonicznych ciągów zawierających 11, czyli musimy znaleźć ilość podzbiorów [n] zawierających dokładnie 11 elementów, z czego jeden to 11.
Odpowiedzią jest {n \choose 10}, bo jeden element podzbioru znamy, resztę dobieramy.

Zostało policzyć prawdopodobieństwo.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 12 wrz 2015, o 01:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4416
Lokalizacja: Łódź
MatXXX napisał(a):
W zadaniu szukamy monotonicznych ciągów zawierających 11, czyli musimy znaleźć ilość podzbiorów [n] zawierających dokładnie 11 elementów, z czego jeden to 11.
Odpowiedzią jest {n \choose 10}, bo jeden element podzbioru znamy, resztę dobieramy.

Jest {n-1 \choose 10} \cdot 2 takich ciągów, bo dobieramy 10 spośród n-1 elementów i sortujemy rosnąco i malejąco.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 11:15 
Użytkownik

Posty: 276
kropka+ napisał(a):
MatXXX napisał(a):
W zadaniu szukamy monotonicznych ciągów zawierających 11, czyli musimy znaleźć ilość podzbiorów [n] zawierających dokładnie 11 elementów, z czego jeden to 11.
Odpowiedzią jest {n \choose 10}, bo jeden element podzbioru znamy, resztę dobieramy.

Jest {n-1 \choose 10} \cdot 2 takich ciągów, bo dobieramy 10 spośród n-1 elementów i sortujemy rosnąco i malejąco.


Dlaczego tak ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 12:07 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Polska
Ze wszystkich n elementów w zbiorze jeden jest już wybrany (11 musi należeć do tego zbioru, czyli wrzucany ją tam na samym początku bez żadnego losowania). W urnie zostało n-1 elementów z których wybieramy dziesięć do wypełnienia zbioru (a jednocześnie ciągu).
{n-1 \choose 10}
Zbiór można jednoznacznie posortować na dwa sposoby, rosnąco i malejąco. Z jednego wybranego zbioru można zrobić dwa ciągi, więc ostateczna odpowiedź to:
{n-1 \choose 10} \cdot 2
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 276
Ale z tym sortowaniem - przecież zanim posortujesz to masz inne kombinacje, nie tworzące monoticznego ciągu, ale wchodzą w skład tych kombinacji
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urna i n kul
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 59
Lokalizacja: Polska
To prawda, że z jednego takiego zbioru można utworzyć 11! ciągów, z czego 11!-2 niemonotonicznych. Ale tu nas to nie obchodzi. Przy zliczaniu korzystamy z faktu, że jeden taki zbiór odpowiada dokładnie dwóm ciągom monotonicznym. Więc jeżeli potrafimy zliczyć ilość zbiorów, to pośrednio policzymy ilość ciągów monotonicznych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Urna z kulami Losujemy ...  Pi  1
 urna - zadanie 6  Manio0017  1
 Urna z kuleczkami  yanishSC  5
 Urna i ponumerowane kule  Uczeń123  2
 urna - zadanie 5  Arvit  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl