szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 20:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 776
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Witam! Mam takie oto zadanie Uzasadnij, że jeżeli 2a+b \ge 0 to 2a ^{3}+b ^{3} \ge 3a ^{2}b. Wiem, że łatwiejszy ( nie wiem czy niejedyny) sposób to przekształcać drugie wyrażenie. Ale chciałem spróbować z tym pierwszym.
2a+b \ge 0 podniosłem do trzeciej potęgi i przekształcając otrzymałem a ^{2}\left( 3a+4b\right)+ b ^{2}\left( 2a+b\right)  \ge 0 Czy można coś z tym jeszcze zrobić? Bo ja nie widzę możliwości.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2771
Czy na pewno dobrze podniosłeś do potęgi trzeciej?

(2a+b)^{3}=8a^{3}+12a^{2}b+6ab^{2}+ b^{3}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 1260
Przypadek, gdy jedna lub obie zmienne są zerowe, trywializuje problem. Dalej niech a,b\neq 0.

Liczby a,b nie mogą być jednocześnie ujemne, bo to przeczy założeniu. Jeżeli są jednocześnie dodatnie, to żądana nierówność wynika wprost z AM-GM. Jeżeli zaś jedna z nich jest ujemna, to mamy ab<0 i z założenia:

a^2(2a+b)\ge 0
b^2(2a+b)\ge 0

Przypuśćmy, wbrew tezie, że zachodzi nierówność przeciwna. Mamy dodając stronami dwie powyższe nierówności:

0\le 2a^3+b^3+a^2b+2ab^2<3a^2b+a^2b+2ab^2=2ab(2a+b)<0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 776
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Poszukujaca napisał(a):
Czy na pewno dobrze podniosłeś do potęgi trzeciej?

(2a+b)^{3}=8a^{3}+12a^{2}b+6ab^{2}+ b^{3}

Kurde, już widzę błąd..

-- 10 wrz 2015, o 20:40 --

bosa_Nike napisał(a):
Przypadek, gdy jedna lub obie zmienne są zerowe, trywializuje problem. Dalej niech a,b\neq 0.

Liczby a,b nie mogą być jednocześnie ujemne, bo to przeczy założeniu. Jeżeli są jednocześnie dodatnie, to żądana nierówność wynika wprost z AM-GM. Jeżeli zaś jedna z nich jest ujemna, to mamy ab<0 i z założenia:

a^2(2a+b)\ge 0
b^2(2a+b)\ge 0

Przypuśćmy, wbrew tezie, że zachodzi nierówność przeciwna. Mamy dodając stronami dwie powyższe nierówności:

0\le 2a^3+b^3+a^2b+2ab^2<3a^2b+a^2b+2ab^2=2ab(2a+b)<0

No tak, rozumiem co napisałeś. Ale według mnie to przekształcenie wyrażenia jest prostsze .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 21:49 
Moderator

Posty: 1893
Lokalizacja: Trzebiatów
2a^{3} + b^{3} - 3a^{2}b = 2a^{2}\left( a-b\right) - b\left( a^{2}-b^{2}\right) = 2a^{2}\left( a-b\right)  - b\left( a-b\right)\left( a+b\right) = \left( a-b\right)\left( 2a^{2}-b\left( a+b\right) \right) =\left( a-b\right)\left( 2a^{2} -ab - b^{2}\right)=\left( a-b\right)\left( a^{2}-b^{2} + a^{2} - ab\right)=\left( a-b\right)\left( \left( a-b\right)\left( a+b\right) + a\left( a-b\right)  \right)=\left( a-b\right)^{2}\left( 2a+b\right)  \ge ...
To jest głowne założenie autora - standardowe - ciężko bedzie znalezc cos prostszego - standardowego .
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 1260
Chcąc uczynić zadość życzeniu OP, trzeba by odwrócić kolejność obliczeń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 22:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 776
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Zahion napisał(a):
2a^{3} + b^{3} - 3a^{2}b = 2a^{2}\left( a-b\right) - b\left( a^{2}-b^{2}\right) = 2a^{2}\left( a-b\right)  - b\left( a-b\right)\left( a+b\right) = \left( a-b\right)\left( 2a^{2}-b\left( a+b\right) \right) =\left( a-b\right)\left( 2a^{2} -ab - b^{2}\right)=\left( a-b\right)\left( a^{2}-b^{2} + a^{2} - ab\right)=\left( a-b\right)\left( \left( a-b\right)\left( a+b\right) + a\left( a-b\right)  \right)=\left( a-b\right)^{2}\left( 2a+b\right)  \ge ...
To jest głowne założenie autora - standardowe - ciężko bedzie znalezc cos prostszego - standardowego .

Zadanie wykonałem, ale myślałem że z pierwszego wyrażenia też da się rade wyjść, jednak chyba się nie da. A z drugiego tak jak napisałeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2015, o 23:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3365
Lokalizacja: Krk
pawlo392, da radę. Po prostu zapisz to rozwiązanie od końca.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przekształcenie wyrażenia. - zadanie 3  oluch-na  3
 Przekształcenie wyrażenia. - zadanie 2  vav  5
 Przekształcenie wyrażenia. - zadanie 4  karolthas  2
 Przekształcenie wyrażenia.  rolnik41  4
 Oblicz wartość wyrażenia z potęgami.  Paul0s  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl