szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 16:19 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Polska
Witam,

Dostałem na egzaminie do rozwiązania zadanie na zastosowanie twierdzenia Stokesa. Nie udało mi się do końca go zrobić, więc mam kilka wątpliwości, które liczę, że uda mi się rozwiązać. Oto to zadanie:

Udowodnić, że jeśli krzywa \alpha: \left[ 7,9\right] \rightarrow \RR^2, klasy C^1, nie przechodzi przez punkt \left( 0,0\right) i spełnia warunki: 7 \le s < t < 9 \Rightarrow  \alpha(s) \neq  \alpha(t) i \alpha(7) = \alpha(9), to:

\int_{\alpha} \frac{(x^3 - 3xy^2)dx + (3x^2y - y^3)dy}{(x^2 + y^2)^3} = 0.

W swoim rozwiązaniu rozbiłem sobie tę formę pod całką na sumę dwóch i po zastosowaniu twierdzenia Stokes'a dostałem, że wynikiem tej całki jest całka z 0. I tutaj pytanie - czy to pozwala na wnioskowanie, że to jest 0? I od razu drugie pytanie - czemu w tym zadaniu nie możemy skorzystać z twierdzenia Green'a?

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 18:56 
Użytkownik

Posty: 12689
Lokalizacja: Bydgoszcz
Popatrz co się dzieje w początku układu współrzędnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Polska
Chodzi o to, że zgodnie z twierdzeniem Green'a funkcje P i Q powinny być określone wewnątrz obszaru ograniczonego przez tę krzywą, a nie są określone w punkcie \left( 0,0\right)?

Bo jeżeli krzywa nie zawiera w sobie tego punktu, to możemy skorzystać z twierdzenia o niezależności całki od drogi całkowania? Tylko zastanawiam się co w przypadku gdy krzywa otacza początek układu współrzędnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 12689
Lokalizacja: Bydgoszcz
To weź taka, co nie otacza
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 42
Lokalizacja: Polska
Czyli ogólnie rzecz biorąc: jeżeli moja krzywa nie otacza początku układu współrzędnych to mogę stosować twierdzenie Greena i dzięki niezależności całki od drogi całkowania i temu, że \alpha(7)=\alpha(9) dostaję, że to jest 0. Natomiast jeżeli moja krzywa otacza rzeczony punkt, to mogę wziąć inną krzywą, która spełnia warunki z zadania i wracam do sytuacji opisanej wcześniej? No i chyba mogę tak zrobić, bo mam spełnione założenia twierdzenia o równości całek po różnych łamanych (czyli że \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{ \partial P}{ \partial y} = 0)?

EDIT: Czy może chodzi o to, że mogę policzyć sobie całkę po dowolnym obszarze zamkniętym, który otacza ten punkt \left( 0,0\right) i parametryzując, że x=\cos(\alpha), y=\sin(\alpha) co doprowadzi mnie do tego, że wynikiem całkowania będzie 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 12689
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie. Ta krzywa nie otacza początku układu. Ona przez niego przechodzi. I możesz ją tak odkształcic, żeby nie przechodziła i żeby początek układu nie leżał we wnętrzu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka po krzywej skierowana - jak to rozwiązać?  freeze2  1
 całka krzywoliniowa - zadanie 6  asiak1987  1
 całka zorientowana  asiak1987  1
 Twierdzenie Greena - dowód?  rObO87  2
 Całka krzywolinowa skierowana  batory1533  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl