szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 92
Jak rozwiązać poniższe zadanie?

Zad. 1
Udowodnić, że jeśli n \ge 3 jest liczbą naturalną, to liczba \sqrt{n^{2}-4 } jest niewymierna.

Pierwsze, co przyszło mi do głowy, to indukcja matematyczna.
Dla n=3 zgadza się.
Załóżmy, że zgadza się dla pewnego n naturalnego.
Pokażemy, że dla n+1 też jest ok.
Wiemy, że \sqrt{n^{2}-4 } jest niewymierną.
Czy \sqrt{(n+1)^{2}-4 } jest też niewymierna?
I teraz nie mam pomysłu. Nie wierzę, że dowód podobny do dowodu niewymierności \sqrt{2} ma tutaj jakiekolwiek zastosowanie. Co dalej zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 20:22 
Administrator

Posty: 21168
Lokalizacja: Wrocław
Indukcja to nie jest dobry pomysł.

Udowodnij, że równanie n^2-4=k^2 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych n,k (dla n\ge 3).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 92
Dziękuję za odpowiedź.
Faktycznie wystarczy przenieść k na lewą stronę równania, skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów, wybrać kandydatów na liczby spełniające równanie i spróbować rozwiązać układy równań, które okażą się sprzeczne. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 wrz 2015, o 20:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
I trzeba jeszcze skorzystać z twierdzenia, które orzeka, że pierwiastek z liczby całkowitej jest całkowity lub niewymierny. Prawda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2015, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 92
Prawda :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 wrz 2015, o 12:18 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
n^{2}-4>\left(n-1\right)^{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl