szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2015, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 5407
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązać układ równań
\begin{cases} x_1^2+ 2ax_1+b^2 = x_2 \\...\\ x_n^2+ 2ax_n+b^2 = x_1\end{cases}
o ile b \geq a >0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 wrz 2015, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 1225
Postaram się zbytnio nie namachać rękami. :roll:

Ponieważ \left(x_i+a\right)^2+b^2-a^2=x_{i+1} (indeksy modulo n), to wnioskujemy najpierw x_i\ge 0, a później x_i>0.

Rozwiązujemy układ y_i^2+k=y_{i+1}, gdzie 0<y_i=x_i+a,\ 0<k=b^2-a^2+a.

Standardowo: jeżeli np. y_1>y_2, to y_2=y_1^2+k>y_2^2+k=y_3 itd., więc y_1>y_2>\hdots >y_n>y_1. Podobnie jest dla nierówności z przeciwnym znakiem. Stąd, jeżeli liczby dodatnie y_i spełniają układ, to są one parami równe.

Tzn. \left(y-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{4}-k\right)=0, czyli x=\frac{1-2a\pm\sqrt{1+4a^2-4b^2-4a}}{2}\qquad (*)

Aby rzeczywiste wartości iksów istniały, musimy mieć nieujemne wyrażenie podpierwiastkowe przy 0<a\le b, tzn. 0<a\le\frac{1}{2}-b przy b<\frac{1}{2}. Wtedy zawsze 1-2a>0 i (*) daje dwie rzeczywiste wartości iksa spełniające równania układu. "Dobre" pary parametrów (a,b) mieszczą się więc w trójkącie (bez lewego boku) o wierzchołkach \left(0,0\right);\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right);\left(0,\frac{1}{2}\right).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność z kwadratami - zadanie 2  mol_ksiazkowy  1
 Układ rownań z 4 niewiadomymi.  dudik  6
 układ równań - zadanie 193  zonciaaa  1
 Układ równań - zadanie 213  Monsters  2
 Układ równań 1 - zadanie 2  Szabla1234  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl