szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Prawo Stokesa
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 183
Lokalizacja: Środkowa Polska
Dane jest pole wektorowe \vec{A}= \begin{cases} 4\rho \vec{i _{\phi} } \ dla \ \rho \le 0.5  \\  \frac{\vec{i _{\phi} } }{\rho} \ dla \rgo>0.5 \end{cases}.Obliczyć \oint_l  \vec{A} \cdot  \mbox{d} \vec{l} ,gdzie l jest kołem jednostkowym w płaszczyźnie Oxy przy pomocy twierdzenia Stokesa.

Mój problem dotyczy rotacji.W rozwiązaniu jest :
Dla \rho \le 0.5 :
\nabla\times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{ i _{z}}{\rho} & \frac{i _{\rho} }{\rho}&i _{\phi} }\\ \frac{ \partial }{ \partial z} &\frac{ \partial }{ \partial \rho}&\frac{ \partial }{ \partial \phi}\\0&0&4\rho^2\end{array}\right|=8 \vec{i_z}

Tutaj nie rozumiem 3 rzeczy :
a)Dlaczego stosuje się \frac{ i _{z}}{\rho},  \frac{i _{\rho} }{\rho} zamiast odpowiednio i _{z},i _{\rho} skoro to one są wersorami ?
b)Mi z tego wyznacznika wychodzi 4 ,a nie 8
c)Dlaczego w ogóle jest tam 4\rho^2 ? Nie powinno być 4\rho ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Prawo Stokesa
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 684
https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates

znajdź sobie w tabelce jakim wzorem wyraża się rotacja we współrzędnych cylindrycznych. Jeżeli nie chcesz brać na wiarę, w necie na pewno łatwo znajdziesz wyprowadzenie, ale nie jest ono zbyt eleganckie. Widać tam skąd bierze się dodatkowe 'ro' w pochodnej, które daje 8 zamiast 4 w końcowym wyniku (Ty dostałeś 4 gdyż jak przypuszczam najpierw podzieliłeś przez ro a potem wziąłeś pochodną - musisz pamiętać o kolejności operatorów!), jak również 1/ro poza pochodną, które kasuje pozostałe ro; w ten sposób nie mamy już promienia w wyniku końcowym.

Jeżeli chodzi o wersory to sprawa wygląda tak samo. Zauważ, że przed nawiasami dla współrzędnych z i ro stoją dodatkowe dzielenia przez ro. Jeżeli chcesz wiedzieć dokładnie skąd - ponownie odsyłam do wyprowadzenia wzoru na rotację.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Prawo Stokesa
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 183
Lokalizacja: Środkowa Polska
a)Czyli rozumiem że jakbym policzył \nabla\times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc} \frac{ i _{z}}{\rho} & \frac{i _{\rho} }{\rho}&i _{\phi} }\\ \frac{ \partial }{ \partial z} &\frac{ \partial }{ \partial \rho}&\frac{ \partial }{ \partial \phi}\\A_z&A_{\rho}&A_{\phi}\end{array}\right| to bym otrzymał ten wzór ?

b)Ok

c)Coś o tym możesz powiedzieć ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Prawo Stokesa
PostNapisane: 13 wrz 2015, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 684
a) Nie rozumiem, co masz na myśli. Wzór z linku ma dosyć żmudne wyprowadzenie, wzór to końcowy wynik tegoż wyprowadzenia.

c) Powiedziałem :) Jeżeli popatrzysz jeszcze raz na wzór z linku, który jest tym samym co pseudowyznacznik który napisałeś, tyle, że w formie już rozwiniętej, to zobaczysz, że w pierwszym czynniku w nawiasie przy współrzędnej zetowej, wewnątrz pochodnej masz dodatkowe ro. Stąd to ro do kwadratu w Twoim wyznaczniku. Gdy liczysz wyznacznik, jednym z członów będzie:

\frac{i_z}{ \rho} \frac{ \partial (4 \rho^2)}{ \partial  \rho}

i to jest dokładnie to samo, co w linku. upraszczając:

\frac{i_z}{ \rho} \frac{ \partial (4 \rho^2)}{ \partial  \rho} =\frac{i_z}{ \rho}  8\rho = 8 i_z
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 twierdzenie Stokesa - zadanie 2  Niewiem  3
 Klasyczne twierdzenie Stokesa  PLrc  1
 Prawo Biota Savarta  PLrc  4
 Twierdzenie Stokesa - zadanie 3  Jaume  1
 Tw. Stokesa  luthien91  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl