szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2015, o 14:00 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: pl
Cześć wszystkim

Mam następujący problem:

Nie wiem jak zbadać wypukłość zbioru:

A = \left\{\left(x,y\right)  \in  R^{2} : y  \ge  x^{4} + 6x^{2} - 3x - 1  \wedge   x^{2} + y^{2}  \le 4 \right\}

Jest jakaś inna metoda poza wykazywaniem wypukłości z definicji?
Może jakieś zastosowanie wypukłości funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2015, o 14:34 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Pierwsza nierówność definiuje nadwykres funkcji (wypukłej) f(x)=x^4+6x^2-3x-1. Funkcja f jest wypukła \iff jej nadwykres \text{epi }f}=\{(x,y):y\ge f(x)\} jest zbiorem wypukłym. Druga nierówność określa koło, czyli też zbiór wypukły. Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Zadanie dla Ciebie - udowodnić twierdzenie o nadwykresie, które powyżej podałem. Czasem uwolnienie się od konkretu pozwala na dostrzeżenie większej liczby rzeczy. Myślę o tym, że w ogóle nie trzeba rachować na tej funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2015, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: pl
szw1710 napisał(a):
Pierwsza nierówność definiuje nadwykres funkcji (wypukłej) f(x)=x^4+6x^2-3x-1. Funkcja f jest wypukła \iff jej nadwykres \text{epi }f}=\{(x,y):y\ge f(x)\} jest zbiorem wypukłym. Druga nierówność określa koło, czyli też zbiór wypukły. Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Zadanie dla Ciebie - udowodnić twierdzenie o nadwykresie, które powyżej podałem. Czasem uwolnienie się od konkretu pozwala na dostrzeżenie większej liczby rzeczy. Myślę o tym, że w ogóle nie trzeba rachować na tej funkcji.


Dziękuje za odpowiedź,
Chyba już rozumiem
Czyli sprawdzenie znaku drugiej pochodnej z f(x)=x^4+6x^2-3x-1 powinno załatwić sprawę?
Jeżeli tak to zbiór nad funkcją f(x)=x^4+6x^2-3x-1 jest wypukły ponieważ
f''(x)=12x^{2}+12
jest dodatnie dla każdego rzeczywistego x.

Tej drugiej nierówności nie muszę wykazywać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2015, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Jeśli miałeś twierdzenie, że kule w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2015, o 15:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Strzelasz do much z armaty. Już w szkole średniej na geometrii uczymy się i dowodzimy, że koło jest figurą wypukłą. Owszem, używamy pojęcie wypukłości i w wyższej matematyce to nawet eleganckie, ale nie strasz kolegi macubu :)

macubu, może być. Masz f''(x)>0, więc f jest wypukła. Udowodnij to co powiedziałem o nadwykresie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wypukłość zbioru  bane  2
 wypukłość zbioru - zadanie 3  Karolina93  1
 wypukłość zbioru - zadanie 2  natalia1991  2
 Punkt należący do zbioru najbliższy danemu  Jawana  3
 Wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów stycznych - zadanie 2  damianb543  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl