szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2015, o 18:03 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3977
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Ostatnio na MO pojawiło się bardzo interesujące pytanie:

    Czy istnieje taka grupa abelowa A, która jest izomorficzna z A\oplus \mathbb{Z}^2, ale nie z A\oplus \mathbb{Z}.

Równoważnie, przechodząc do grupy dualnej Pontriagina, można zapytać:

    Czy istnieje taka abelowa grupa zwarta G, że która jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z G\oplus \mathbb{T}^2, ale nie z G\oplus \mathbb{T}?

Powyżej \mathbb{T} oznacza okrąg.

Interesuje mnie słabsza wersja problemu:

    Czy istnieje taka przestrzeń zwarta K, która jest homeomorficzna z K\times \mathbb{T}^2 ale nie z K\times \mathbb{T}?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2015, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 7360
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
A mogę się dla potrzeb tego problemu dopytywać o elementy Twojej wiedzy?. Często to będą głupie pytania jak się okaże. Pierwsze z pytań.
Czy homeomorfizmy zachowują wymiar? Jest szansa, że A jeśli będzie pierścieniem domkniętym ( w sensie topologicznym) jest obiektem dwuspójnym to A \times \mathbb{T}to będzie torus z wydrążonym tunelem, który będzie obszarem trójspójnym, jenak dalsze produktowanie z okręgiem intuicyjnie zasklepi ten tunel. Zostanie znowu jedna dziura- ta po tym okręgu.
Jeśli gadam głupoty- proszę o wyrozumiałość :-D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2015, o 09:39 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3977
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Tak, homeomorifzmy zachowują wymiar. Zdaje się, że chcesz operawać z rzeczami lokalnie homeomorficznymi z \mathbb{R}^n - to nie jest dobra strategia, bo dla takich przestrzeni

    \dim (X\times Y) = \dim X + \dim Y.

W szczególności, K nie jest lokalnie homeomorficzne z \mathbb{R}^n. Nie jest nawet pewne, czy jeżeli K istnieje to jest w ogóle metryzowalne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2015, o 10:23 
Użytkownik

Posty: 7360
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Tak też czułem, czyli zabawa przejdzie zapewne do przestrzeni Polskich, gdzie prawo projekcji niekoniecznie zachodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2015, o 12:01 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3977
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Przestrzenie metryczne zwarte są polskie. Nie zakładam jednak metryczności.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 maja 2016, o 18:34 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: ba
Take przestrzeń K ma następujące własności:

1. Dla każdego n\in\mathbb{N} istnieje rzut (kanoniczny) \pi_n:K\to \mathbb{T}^n.
2. Nie istnieje rzut \pi_\infty:K\to\mathbb{T}^\infty.

Podobną sytuację mamy na przykład w przypadku przestrzeni c_0(\mathbb{R}) ciągów zbieżnych do zera. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa nad \mathbb{R} jest homeomorficzna ze składnikiem prostym w c_0. Wobec tego kostki dowolnego skończonego wymiaru [0,1]^n można zanużyć w c_0, ale kostki nieskończonego wymiaru nie można.

Stąd idea konstrukcji:

Niech D=B\times B, gdzie B=\{z\in\mathbb{C}:|z|\le 1\} oraz niech D^\infty oznacza nieskończony przeliczalny produkt przestrzeni D. Elementy D, czyli pary (\sigma_1,\sigma_2)=s dla \sigma_i\in B mnożymy przez liczby po współrzędnych: \alpha s=\alpha(\sigma_1,\sigma_2)=(\alpha\sigma_1,\alpha\sigma_2)

Połóżmy K_n=\{(s_1,s_2,\ldots)\in D^\infty:0\le i \le n\Rightarrow  is_i\in D\}.

Wówczas K=\bigcap K_i jest zwartą podprzestrzenią D^\infty spełniającą 1. i 2.. Dalej mam jedynie mglistą ideę. Trzeba oczywiście pokazać, że K\times\mathbb{T}\not\simeq K.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2016, o 17:28 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3977
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
hannahannah napisał(a):
Podobną sytuację mamy na przykład w przypadku przestrzeni c_0(\mathbb{R}) ciągów zbieżnych do zera. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa nad \mathbb{R} jest homeomorficzna ze składnikiem prostym w c_0. Wobec tego kostki dowolnego skończonego wymiaru [0,1]^n można zanużyć w c_0, ale kostki nieskończonego wymiaru nie można.


Nie wiem czy rozumiem co tutaj masz na myśli. Dla każdej ośrodkowej przestrzeni metycznej istnieje włożenie Lipschitzowskie w c_0. To jest twierdzenie Aharoniego.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 maja 2016, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: ba
Idea zrodziła się pewnie z ignorancji, dlatego nie wyrywałam się specjalnie do jego pokazania, ha ha. Chodziło mi o zanurzenie kanoniczne, czyli że c_0 nie jest homeomorficzna produktem [0,1]^\infty \times X, bo na tym polega próba konstrukcji kontrprzykładu: gdyby przy oznaczeniach z mojego poprzedniego postu K\simeq D^\infty\times X, to przykład nie ma szans działać. Nie oznacza to jednak, że K nie zawiera podprzestrzeni homeomorficznej z D^\infty. Ale również te stwierdzenia nie są dla mnie jasne.

Może lepszą ilustracją będą dwie grupy abelowe:

P - zbiór nieskończonych przeliczalnych ciągów liczb całkowitych z operacją dodawania po współrzędnych.

B - zbiór nieskończonych przeliczalnych ciągów liczb całkowitych o prawie wszystkich współrzędnych zerowych, również z dodawaniem po współrzędnych.

Każda wolna skończenie generowana grupa abelowa jest składnikiem prostym B, ale P nie jest.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta  fon_nojman  3
 moc przestrzeni Hausdorffa  karolynqaa  1
 Tożsamości przestrzeni  feyn  2
 Wektory-baza przestrzeni  cytrynka  3
 Wymiar przestrzeni - zadanie 2  piotrekd4  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl