szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2015, o 17:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Niestety, ale chyba się mylisz. Nie umiem wystarczająco dużo, żeby Cię przekonać, ale iloczyn skalarny i wektorowy w \RR^3 są szczególnymi przypadkami ogólniejszych tworów. Iloczyn skalarny (kanoniczny) jest dodatnio określoną formą dwuliniową, to znaczy funkcją, która dwóm wektorom przypisuje liczbę zgodnie z dwoma regułami:

\langle \alpha x + \beta y \mid z \rangle = \alpha \langle x \mid z \rangle + \beta \langle y \mid z \rangle oraz
\langle x \mid x \rangle > 0 dla x \neq 0,

gdzie \alpha, \beta to skalary (na przykład elementy \RR), zaś x, y, z to wektory (na przykład z \RR^n dla n = 3).

W przestrzeni \RR^n mamy
SlotaWoj napisał(a):
    \vec{A}\circ\vec{B}{\red{=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}}


Jak widać, iloczyn skalarny dwóch wektorów jest sumą wyrażeń postaci a_i b_i, czyli ponownie skalarem.

Iloczyn skalarny to tak naprawdę iloczyn zewnętrzny, czyli wektor z \RR^n, który jest prostopadły do pozostałych wektorów i ma taką długość, jaką objętość ma równoległościan rozpięty na pozostałych. Na Twoim poziomie zadowalająca jest jednak szkolna definicja, bardzo dobrze działająca w \RR^3 :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 wrz 2015, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 3602
Lokalizacja: Kraków PL
Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy to zupełnie różne obiekty matematyczne i należy unikać ujednolicania ich rozumienia.

  1. Iloczyn skalarny jest określony w każdej ponadzerowymiarowej przestrzeni liniowej, podczas gdy iloczyn wektorowy jedynie w przestrzeniach trójwymiarowych.

  2. Wzór:

      \vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\alpha

    może być definicją iloczynu skalarnego, ale tylko w przestrzeniach dwu- i trójwymiarowych, ale ta definicja jest kompletna.

  3. Wzór:

      |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\alpha

    definiuje jedynie długość (wektora) iloczynu wektorowego. Do kompletności definicji iloczynu wektorowego potrzebne są jeszcze informacji o jego orientacji (jako wektora).

Bluesowiec napisał(a):
\vec{a}\circ \vec{b}=\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos\alpha \cdot Z_{a} \cdot Z_{b}
\vec{a} \times \vec{b}=\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \sin\alpha \cdot Z_{a} \cdot Z_{b}
Co powyżej oznaczają zapisy: Z_a i Z_b ?

Drugi z ww. wzorów sugeruje, że iloczyn wektorowy jest skalarem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2015, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 13
Właśnie to, czy te iloczyny są skalarem czy wektorem tłumaczą reguły obowiązujące mnożenie znaków bazowych Za i Zb. Nie pisałem tu, jak one wyglądają, jednak sprawdziłem to i działają w KAŻDYM przypadku. Nie widzę powodu robić z Was balona.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 wrz 2015, o 19:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Jeżeli Z_a, Z_b są liczbami, to te wzory nie działają nigdy, bo po lewej masz wektor, a po prawej liczbę (obiektz zupełnie od siebie różne).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2015, o 22:23 
Użytkownik

Posty: 3602
Lokalizacja: Kraków PL
Nie podałeś, co u Ciebie oznaczają zapisy Z_a i Z_b. Piszesz, że są to znaki jakieś znaki bazowe, a ja nie wiem co to takiego.
Bluesowiec napisał(a):
... tłumaczą reguły obowiązujące mnożenie znaków bazowych Z_a i Z_b.
czym różni się iloczyn Z_a\mbox{·}Z_b w pierwszym wzorze, od identycznego iloczynu w drugim ?

W zacytowanych powyżej Twoich zapisach, prawe strony maja taki sam charakter, co implikuje, że lewe również, a to nie jest prawdą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2015, o 13:09 
Użytkownik

Posty: 13
Za i Zb nie są liczbami. To raczej coś czym są wektory jednostkowe i,j,k albo e_{i}
Każdy wektor w przestrzeni można rozłożyć na 3 wymiary.
Rozkładając równanie mamy:
\vec{A} \circ \vec{B}= \left( a_{x}\cdot Z _{x} + a_{y}\cdot Z _{y}+a_{z}\cdot Z _{z} \right) \circ \left( b_{x}\cdot Z _{x}+ b_{y}\cdot Z _{y}+b_{z}\cdot Z _{z} \right)

-- 29 wrz 2015, o 12:14 --

Mnożąc oba nawiasy przez siebie do każdego iloczynu dodajemy czynnik cosinus.
W iloczynie wektorowym sinus. Chodzi o to, że iloczyny, np.
Z _{x}  \cdot  Z _{x} lub Z _{x}  \cdot  Z _{y} dają taki sam wynik w obu iloczynach "skalarnym" i"wektorowym".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2015, o 13:38 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2719
Lokalizacja: Warszawa
Dobra, tylko pytanie podstawowe: po co tworzysz jakieś dziwne byty, które de facto komplikują sprawę? Wektory jednostkowe to wektory jednostkowe, jeśli Z mają je oznaczać, to to:

Bluesowiec napisał(a):
Ściślejszą definicją będzie:
\vec{a}\circ \vec{b}=\left|  \vec{a} \right| \cdot \left|  \vec{b} \right| \cdot \cos\alpha \cdot  Z_{a} \cdot  Z_{b}
\vec{a} \times  \vec{b}=\left|  \vec{a} \right| \cdot \left|  \vec{b} \right| \cdot \sin\alpha \cdot  Z_{a} \cdot  Z_{b}


traci sens. Pomijając fakt, iż to co wyżej nie jest ściślejszą definicją. Iloczyn skalarny to zupełnie coś innego niż wektorowy, a fakt, że ów iloczyn skalarny i długość wektora powstałego z iloczynu wektorowego 'wyglądają' podobnie jest tylko nic nie znaczącą koincydencją. Nie ma w tym niczego głębszego.

Cytuj:
Nigdzie nie znalazłem wyjaśnienia, dlaczego mnożąc odpowiednie wymiary wychodzą nam inne lub wartość.


Dlatego, że tak sobie definiujemy te iloczyny. Bo takie wielkości okazują się być użyteczne w 'praktyce'. Serio, w tym nie ma jakiejś głębszej filozofii. Pomijając fakt, iż to co próbujesz robić wcale niczego nie wyjaśnia :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2015, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 13
Wystarczy rozmów na ten temat. Wszędzie można znaleźć głębsze dno, a nawet dojść głębiej niż ono sięga. To znaczy, że dalsza rozmowa nie ma na razie według mnie sensu. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2015, o 23:25 
Użytkownik

Posty: 191
Masz zacięcie matematyczne, to dobrze, ale musisz czytać podręczniki!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Iloczyn zewnętrzny funkcji skośnie symetrycznych  PiotrowskiW  2
 Potencjał skalarny dla pól bezwirowych  Gavan  5
 Iloczyn zewnętrzny formy z nią samą  PLrc  3
 Iloczyn wewnętrzny  PLrc  1
 Plan wektorowy prędkości  malymola  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl