szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2015, o 22:09 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Wrocław
Wyznacz wszystkie liczby wymierne x dla których liczba postaci x +  \frac{1}{x} jest liczbą naturalną.

Na pewno będzie to 1, ale jak wyznaczyć wszystkie ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2015, o 22:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Wydaje mi się, że ułamek \frac{1}{x} dla żadnego iksa naturalnego (oprócz jedynki) nie będzie liczbą naturalną. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2015, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Wrocław
A bez wydaje mi się ?:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 paź 2015, o 22:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Jeżeli x = a : b, to

\frac ab+\frac ba = k \iff a^2 + b^2 = abk.

Wynika stąd, że a \mid b^2 oraz b \mid a^2. Możesz założyć, że a, b nie mają wspólnych czynników. Oznacza to, że a, b = \pm 1 (sprawdzić!).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2015, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Wrocław
Trochę skomplikowana odpowiedź, jak na zadanie z podstawy programowej dla liceum.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 paź 2015, o 23:03 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Chewbacca97 napisał(a):
Wydaje mi się, że ułamek \frac{1}{x} dla żadnego iksa naturalnego (oprócz jedynki) nie będzie liczbą naturalną. :)

ale dla liczb wymiernych będzie, a taką jest x ( umieszczam ten komentarz zakładając, że autor nie edytował danych. )
Rozpatrzmy wielomian W\left( x\right) =\left( x-a\right)\left( x- \frac{1}{a} \right)= x^{2} - x\left( a+ \frac{1}{a} \right) + 1, o pierwiastkach wymiernych a,  \frac{1}{a}. Zauważmy, że ma on wszystkie współczynniki całkowite oraz przy najwyższej potędze współczynnik równy 1, a stąd z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu mamy, że muszą one być liczbami całkowitymi. Mówi nam to, że liczby a ,  \frac{1}{a} muszą być całkowite, czyli a musi być całkowite i \frac{1}{a}, wynika stąd, że a =  \pm 1. W naturalnych a = 1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 Zadanie z dowodem na sumę liczb naturalnych  scn  5
 podzielnosc liczb?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl