szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 09:58 
Użytkownik

Posty: 14
Cześć! Zwracam się z serdeczną prośbą o pomoc w rozwiązaniu zadania.

(G, \diamond, e) jest grupą mającą skończenie wiele elementów, a \in G. Niech a^{k} = a \diamond a \diamond ... \diamond a (działanie wykonujemy k-1 razy) oznacza k-tą potęgę elementu a. Pokaż, że istnieje liczba naturalna n taka, że a^{n} = e.

Nie mam na razie żadnego pomysłu, jak to nawet ruszyć.
Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 10:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Oznaczmy liczbę elementów tej grupy przez m. Rozważmy potęgi a od a^1 do a^{m+1}. Widzisz co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 10:55 
Użytkownik

Posty: 14
Niestety nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 10:56 
Gość Specjalny

Posty: 5849
Lokalizacja: Toruń
Skoro jest m elementów, a tutaj: a^1, \ldots, a^{m+1} jest ich m+1, to ...?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 14
Nie wiem. Zdaje się, że dla jakichś k, l istnieje takie m, że a^k \diamond a^l = a^m, ponieważ grupa jest skończona. Chciałbym teraz obustronnie wykonać działanie przez element odwrotny do a^m, ale chyba nie wiem, czemu on jest równy. Intuicja podpowiada, że jest to jakieś a^n, ale nie jestem pewien - bo dlaczego nie jakieś b \ne a^n?

Nie wiem, czy to co właśnie napisałem, ma jakiś sens. :| Jeśli nie, to wybaczcie. Proszę o dalsze wskazówki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 12:01 
Gość Specjalny

Posty: 5849
Lokalizacja: Toruń
bartek118 napisał(a):
Skoro jest m elementów, a tutaj: a^1, \ldots, a^{m+1} jest ich m+1, to ...?

... to któreś z tych dwóch się powtarzają, czyli dla pewnych k<l mamy a^k = a^l
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 12:19 
Użytkownik

Posty: 14
Czyli skoro a^k = a^l, to obustronnie wykonuję działanie \diamond b, gdzie b - element odwrotny do a^k i otrzymuję a^k \diamond b = a^l \diamond b, co jest równoważne e = a^{l-k}, a więc istnieje faktycznie a^n=e.
Czy to poprawne rozumowanie? Dzięki za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 12:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Tak, rozumowanie jest poprawne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 paź 2015, o 13:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Chciałabym dodać, że implikacja w drugą stronę jest fałszywa. Wystarczy wziąć dowolną grupę torsyjną, na przykład \ZZ(p^\infty) - grupę pierwiastków p^m-tego stopnia z jedynki dla m \ge 1 lub grupę monstrum Tarskiego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 08:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
bartek118 napisał(a):
Skoro jest m elementów, a tutaj: a^1, \ldots, a^{m+1} jest ich m+1, to ...?

Dlaczego rozważamy właściwie element a^{m+1} skoro on nie należy do zbioru?

-- 4 paź 2018, o 09:25 --

a^k \diamond b = a^l \diamond b, co jest równoważne e = a^{l-k}
Ktoś może wytłumaczyć skąd wynika to przekształcenie? Rozumiem, że lewa strona jest równa elementowi naturalnemu ale nie bardzo rozumiem tego przeskoku po prawej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 09:07 
Użytkownik

Posty: 15652
Lokalizacja: Bydgoszcz
VirtualUser napisał(a):
bartek118 napisał(a):
Skoro jest m elementów, a tutaj: a^1, \ldots, a^{m+1} jest ich m+1, to ...?

Dlaczego rozważamy właściwie element a^{m+1} skoro on nie należy do zbioru?


A dlaczego ma nie należeć? Weż sobie grupę (\{-1,1\},\cdot). Twierdzisz, że (-1)^{2018} nie należy do tej grupy?
Cytuj:

-- 4 paź 2018, o 09:25 --

a^k \diamond b = a^l \diamond b, co jest równoważne e = a^{l-k}
Ktoś może wytłumaczyć skąd wynika to przekształcenie? Rozumiem, że lewa strona jest równa elementowi naturalnemu ale nie bardzo rozumiem tego przeskoku po prawej.


Pomnóż z prawej strony przez b^{-1} a z lewej przez ....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 19:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
Cytuj:
A dlaczego ma nie należeć? Weż sobie grupę (\{-1,1\},\cdot). Twierdzisz, że (-1)^{2018} nie należy do tej grupy?

To prawda, a dlaczego twierdzimy, że skoro w jednym jest m elementów, a w drugim m+1 elementów, to jakieś dwa muszą się powtarzać? Bardzo prosiłbym o rozjaśnienie tego toku rozumowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 21:14 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
VirtualUser napisał(a):
To prawda, a dlaczego twierdzimy, że skoro w jednym jest m elementów, a w drugim m+1 elementów, to jakieś dwa muszą się powtarzać? Bardzo prosiłbym o rozjaśnienie tego toku rozumowania.

A Zasadę Szufladkową znasz?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2018, o 08:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
a4karo napisał(a):
Cytuj:
a^k \diamond b = a^l \diamond b, co jest równoważne e = a^{l-k}
Ktoś może wytłumaczyć skąd wynika to przekształcenie? Rozumiem, że lewa strona jest równa elementowi naturalnemu ale nie bardzo rozumiem tego przeskoku po prawej.

Pomnóż z prawej strony przez b^{-1} a z lewej przez ....

Mógłbyś to rozpisać? Wydaje się banalne ale przecież tylko jednostronnie pomnożyć nie mogę...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2018, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 15652
Lokalizacja: Bydgoszcz
A kto Ci każde z jednej? Z obu mnoż.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Grupa Liego  arek1357  4
 grupa abelowa, homomorfizm grup  Axoi  3
 Wykazać, że podana struktura jest grupą abelową.  justyska0809  1
 Wyznaczyć rzędy elementów grupy  insanis  2
 Udowodnij , że struktura jest grupą  Macius700  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl