szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2015, o 09:44 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: warszawa
Zadanie
Wyznacz długość boków trójkąta prostokątnego, który przy danym polu P =  100 cm^{2} ma najkrótszą przeciwprostokątną.

Da się te zdanie zrobić z badania funkcji? (pochodna itp)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2015, o 10:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 358
Lokalizacja: Pomorskie
Nie trzeba nawet pochodnej, można elementarnie. Oznaczmy przyprostokątne jako a i b, przeciwprostokątną jako c. Wtedy:
c ^{2}=a ^{2}+b ^{2} =(a-b) ^{2}+2ab
Oczywiście widać już, że najmniejszą długość przeciwprostokątnej (przy danym polu P ) dostaniemy, gdy a-b=0 czyli a=b.
Wtedy oczywiście c= \sqrt{2a ^{2} }, przy czym P= \frac{a ^{2} }{2} zatem c= \sqrt{4P}=2 \sqrt{P}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 22:09 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
karolex123, jak dla mnie to rozwiązanie znajduje odpowiedź, ale niestety metoda nie jest poprawna, a dobrze wychodzi tylko przez przypadek...
Oto konkretnie doprecyzowane wątpliwości:
Korzystasz z nierówności: \left(a-b\right)^{2}+2ab \ge 2ab, która niewątpliwie jest prawdziwa, a równość w niej zachodzi tak jak napisałeś tylko gdy a=b. Jednakże, moim zdaniem ta nierówność nie dowodzi, że wówczas osiągane jest minimum, a nawet jeżeli to prawda to nadal wymaga to dowodu, chociaż znając życie na maturze nikt by tego nawet nie zauważył. Ale moim zdaniem to, że po prawej stronie masz zmienną wartość, w ogólności psuje wniosek o minimum osiąganym dla a=b. Nie potrafię podać przykładu natychmiast, dlaczego to się psuje, ale nie przekonuje mnie absolutnie to rozumowanie.

Jeżeli piszę brednie, to proszę o hejty i pokazanie mi dlaczego to jest poprawne rozumowanie. W każdym razie jakiekolwiek rzeczowe argumenty są mile widziane tutaj lub na privie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 22:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Na pewno można tak: niech a,b,c będą odpowiednio długościami przyprostokątnych i przeciwprostokątnej. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa i wzoru na pole trójkąta prostokątnego mamy
c^{2}=a^{2}+b^{2} \ge 2ab=4 \frac{ab}{2}=400. Stąd, ponieważ długość przeciwprostokątnej jest liczbą rzeczywistą dodatnią, mamy c \ge 20. Równość zachodzi \Leftrightarrow a=b.

-- 9 paź 2015, o 22:19 --

Czyli c=20=a\sqrt{2}=b\sqrt{2}...

-- 9 paź 2015, o 22:45 --

To może jeszcze mały przykład, że szacowanie z dołu (z góry zresztą też) przez zmienną wartość może mieć opłakane rezultaty:
powiedzmy, że poproszono nas o znalezienie minimum f(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}
przy warunkach x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 i x+y+z \ge 0, a jeśli takiego nie ma, to udowodnienie, że minimum nie istnieje; ktoś mógłby pomyśleć tak: a po co się użerać z jakimiś ekstremami warunkowymi albo co, znany jest dowód (przez zwinięcie), że gdy x+y+z \ge 0, to x^{3}+y^{3}+z^{3} \ge 3xyz, równość w rozważanym zbiorze zachodzi dla x=y=z= \frac{1}{ \sqrt{3} } i po balu.
Tyle że dla x= \frac{1}{ \sqrt{2} }=-y, z=0 mamy jak najbardziej x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 oraz x+y+z=0 \ge 0, ale f\left( \frac{1}{ \sqrt{2} },
- \frac{1}{ \sqrt{2} },0   \right)=0<f\left(\frac{1}{ \sqrt{3} }, \frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} }\right). Psikus, zero punktów na bank.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl