szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 09:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Jak za pomoca kongruencji udowodnić poniżsża podzielność?

10 | 53^{53}-33^{33}

Wiem, że mogę zapisac takie równości: 53=3 \pmod{10}
3^{2}=-1  \pmod{10} \Rightarrow 3^{52}=1  \pmod{10}

Czy wykorzystując właśność kongruencji mogę sobie te liczby, które dają te same reszty z dzielenia przez 10 po prostu zamienić?

Muszę udowodnić, że: 53^{53}-33^{33}=0 \pmod{10}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 paź 2015, o 10:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10595
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Czy wykorzystując właśność kongruencji mogę sobie te liczby, które dają te same reszty z dizelenia przez 10 po prostu zamienić?

Tak.

-- 9 paź 2015, o 10:40 --

Aha, ja bym od razu zrobił tak: 53^{53}\equiv 3^{53}\pmod{10} i 33^{33}\equiv 3^{33}\pmod{10} oraz ponieważ 3^{2}\equiv -1\pmod{10}, to 3^{20}\equiv 1\pmod{10}. Dalej chyba widać.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 22:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
53^{53}-33^{33} \equiv 3^{53}-3^{33}=3^{33}(3^{20}-1)

3^{2} \equiv -1  \Rightarrow 3^{20} \equiv 1

Ponadto: 3^{2} \equiv -1  \Rightarrow (3^{2})^{16} \equiv 1  \Rightarrow 3^{33} \equiv 3

Więc:

3^{33} (3^{20}-1) \equiv 3(1-1) \equiv 0

Czyli 10 dzieli tę liczbę.

Dobrze?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 paź 2015, o 22:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10595
Lokalizacja: Wrocław
Dobrze, aczkolwiek w pierwszej linijce masz czeski błąd (napisałaś równość zamiast przystawania modulo pod koniec tej linijki), a ponadto to, że 3^{33}\equiv3\pmod{10}, nic nie wnosi do rozwiązania. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 22:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
No tak. Niepotrzebne jest rozpisywanie 3^{33}, ponieważ zero dzieli się przez każdą liczbę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnić podzielność - kongruencja  leszczu450  15
 podzielnosc liczb - zadanie 5  misiek128  2
 Podzielność potęg liczby 3 przez 6  kam51  5
 podzielność iloczynu przez 5  pandyzio  3
 podzielnośc przez 48  cwirek90  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl