szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Polska
Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n jest spełniona nierówność
\frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+ \frac{1}{3n+1}>1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 2914
Sprawdzamy, dla n=1

\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{13}{12}> 1.

Zakładając, że nierówność jest prawdziwa dla n \in N,, wykażemy, że jest prawdziwa dla n+1.

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ...+\frac{1}{3n+1} + \frac{1}{3n+4} >1+ \frac{1}{3n+4}>1.

bo ułamek
\frac{1}{3n+4}>0.

c.b.d.o.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 14730
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przeciez sumowanie nie zaczyna się od 1/2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2015, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11826
Lokalizacja: Wrocław
Drugi krok indukcyjny:
niech L_{n}= \frac{1}{n+1}+...+ \frac{1}{3n+1}. Wówczas mamy (*)L_{n+1}-L_{n}= \frac{1}{3n+2}+ \frac{1}{3n+3}+ \frac{1}{3n+4}- \frac{1}{n+1}
i zauważmy, że \frac{1}{3n+2}+ \frac{1}{3n+4} \ge  \frac{2}{3n+3} (a nawet mamy ostrą nierówność; ja to udowodniłem na boku z nierówności Jensena, ale można też dużo prościej, np. sprowadzając do wspólnego mianownika) , więc L_{n+1}-L_{n}  \ge  0.
Wystarczy dodać (*) stronami do założenia indukcyjnego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić indukcyjnie. - zadanie 2  TexasRanger  5
 Udowodnić indukcyjnie.  Martyn1  2
 Udowodnić indukcyjnie. - zadanie 3  myther  1
 znależć wzór na sumę (indukcyjnie)  fafner  5
 wykaż indukcyjnie - zadanie 3  flaminess  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl