szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 08:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Jak wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby 99^{99}-51^{51} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 08:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5616
Należy znaleźć resztę z dzielenia obu liczb przez 100

99^{99}\pmod{100}=-1 \equiv99 \\ 51^{51} \pmod{100}=51

i wykonać odejmowanie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 12:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
No dobrze, tylko jak właśnie zamienić to 51 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 13:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 434
Lokalizacja: Glasgow
Rozpisujesz po prostu:

99^{99} = \left( 99^2\right)^{49}  \cdot 99 \equiv 1 \cdot 99 \pmod{100} \equiv 99 \pmod{100}

51^{51} = \left( 51^2\right)^{25} \cdot 51 \equiv 1 \cdot 51 \pmod{100} \equiv 51 \pmod{100}

I potem (tak jak polecił Ci kolega kerajs) wykonujesz odejmowanie. ;)

"odpowiedź":    
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 15:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
99^{99}-51^{51} \equiv 99-51 \equiv 48

Czy to już wystarczy by stwierdzić, że dwie ostatnie cyfry tej liczby to 4 i 8?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 paź 2015, o 16:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10561
Lokalizacja: Wrocław
Oczywiście, bo 99^{99}-51^{51}\equiv 48\pmod{100} oznacza, że istnieje taka liczba całkowita k, że 99^{99}-51^{51}=100k+48, a ponieważ np. 99^{99}>51^{51}+48, to k musi być całkowite dodatnie. No to jakie dwie ostatnie cyfry ma liczba postaci 100k+48 dla dow. k całkowitego dodatniego?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 16:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Rozumiem.

Tutaj cenna okazuje się uwaga, że ta różnica jest dodatnia. Wydaje mi się, że jest to nawet konieczne przy ustaleniu ostatnich cyfr, bo dla k ujemnego już tak nie jest..
Właśnie.. Co zrobić jeśli mamy różmicę mniejszą od zera i k ujemne?!
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 paź 2015, o 16:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10561
Lokalizacja: Wrocław
W takim wypadku, np. dla 51^{51}-99^{99}, wzięłabyś po prostu -48\pmod{100}, czyli 52. Jest to oczywiste:
jeżeli "Twoja" liczba l=100k+p jest ujemna (chodzi o to, że k<0, p \in \left\{0,...99\right\}), to liczba l-p=100k dla jest liczbą ujemną, której zapis dziesiętny kończy się dwoma zerami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 19:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5616
To może spróbuj teraz sama:
Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby 99^{51}-51^{99} .

Wskazówka:
Ilość cyfr danej liczby naturalnej określa logarytm dziesiętny z tej liczby zaokrąglony w górę do całkowitej
\log 99 ^{ 99}=99 \log 99 \approx 99 \cdot 1,9956 \approx 197,5679
\log 51 ^{ 51}=51 \log 51 \approx 51 \cdot 1,7076 \approx 87,0861
Liczby z Twojej różnicy miały odpowiednio 198 i 88 cyfr.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Chewbacca97 napisał(a):
Rozpisujesz po prostu:

\left( 99^2\right)^{49}  \cdot 99 \equiv 1 \cdot 99 \pmod{100}

\left( 51^2\right)^{25} \cdot 51 \equiv 1 \cdot 51 \pmod{100}


Cozy mogłbyś wyjaśnić skąd się wzięły te orzejścia - tzn dlaczego zapisaliśmy jedynkę w iloczynie?

-- 10 paź 2015, o 21:47 --

kerajs napisał(a):
Ilość cyfr danej liczby naturalnej określa logarytm dziesiętny z tej liczby zaokrąglony w górę do całkowitej

Hm.. To dlaczego np. \log_{10} 100 = 2, a liczba sto ma trzy cyfry a nie dwie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2015, o 01:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5616
No i mam za swoje. Chcąc uniknąć tych wszystkich podłóg, sufitów, mantys i cech skleciłem regułkę od której wyjątkiem są liczby postaci 10 ^{k}.
Zwykle podaje się ją jakoś tak:
Ilość cyfr danej liczby naturalnej określa cecha logarytmu dziesiętnego z tej liczby powiększona o 1. Teraz nie będzie wyjątków.
A informacja o ilości cyfr byłaby przydatna jeśli miałabyś ochotę rozwiązać przykład który sugerowałem.


Rozwiązanie Twojego zadania z użyciem wiadomości ze szkoły średniej:
99^{99}=(100+(-1))^{99}= \sum_{i=0}^{99} {99 \choose i} 100^{i}(-1)^{99-i}=\\=100N+(-1)^{99} =100N-1=100K+99
51^2=(50+1)^2=2500+100+1=100N+1
51^{51}=(51^2)^25  \cdot 51=(100N+1)^{25} \cdot 51=\left[ \sum_{i=0}^{25} {25 \choose i} 100^{i}1^{25-i}\right] \cdot 51=\\=\left[ 100K+1\right] \cdot 51 =100P+51

To samo z własności kongruencji:
99^{99} \mod 100 \equiv (99 \mod 100)^{99} \equiv (-1)^{99} \equiv -1 \equiv 99
51^{51}\mod 100 \equiv  \left[ (2601)^{25}  \cdot 51 \right] \mod 100  \equiv  (2601 \mod 100)^{25} \cdot (51\mod 100)\equiv
\equiv 1^{25} \cdot 51\equiv 51
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry  wagus1  2
 Wyznacz dwie ostatni cyfry  Fiszer  2
 Znajdz dwie liczby jeśli wiadomo że....  mikao  2
 Wyznaczyć liczbę  Kamil_dobry  2
 Wyznaczyć wszystkie liczby C  kluczyk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl