szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 163
Dane jest równanie x^3 - (m + 1)x^2 + (m + 3)x - 3 = 0. Należy wyznaczyć dla jakich wartości m wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego równania są całkowite. Te zadanie pochodzi z finału "Olimpiady o diamentowy indeks AGH 2012/13".

Po kilku przekształceniach doszedłem do tego (x^2 - xm + 3)(x - 1) = 0. Wynika z tego, że jednym z pierwiastków jest x = 1 natomiast dwa pozostałe wyrażają się wzorami x = \frac{m + \sqrt{m^2 - 12}}{2} oraz x = \frac{m - \sqrt{m^2 - 12}}{2}. Nie mam pojęcia jak znaleźć m, dla którego te rozwiązania są całkowite.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 22446
Lokalizacja: piaski
1) zacznij od tego, że kwadratowe może nie mieć rozwiązań.

2) Może mieć jedno.

3) Może mieć dwa - i tw. o pierwiastku całkowitym wielomianu (+ wzory Viete'a)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 21:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Zauważ, że: W(1)  = 0, zatem \left( x-1\right) dzieli W(x) dla m \in \RR .

Czyli W(x) = \left( x-1\right) \left( x^2 -mx +3\right).

Teraz zapiszmy to jako: \left( x^2 -mx +3\right)=\left( x-p\right) \left( x-q\right), gdzie p,q \in \ZZ.

Ze wzorów Viete'a masz:
\begin{cases} m=p+q \\ 3=pq \end{cases}

Rozwiązujesz układ i voilà! ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 22446
Lokalizacja: piaski
Chewbacca97 napisał(a):
Zauważ, że: W(1)  = 0, zatem \left( x-1\right) dzieli W(x) dla m \in \RR .

Czyli W(x) = \left( x-1\right) \left( x^2 -mx +3\right).

Teraz zapiszmy to jako: \left( x^2 -mx +3\right)=\left( x-p\right) \left( x-q\right), gdzie p,q \in \ZZ.

Ze wzorów Viete'a masz:
\begin{cases} m=p+q \\ 3=pq \end{cases}

Rozwiązujesz układ i voilà! ;)

Zapomniałeś o tym co napisałem wcześniej.

A początek Twojego user już miał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 21:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Jasne, ze trzeba pamiętać o tym, co napisałeś. Sam dla siebie sprawdziłem, co się dzieje, ale tutaj również zapiszę:

1) Jak kwadratowe nie będzie miało rozwiązań, to jedynym całkowitym jest x=1.

2) Jak kwadratowe będzie miało jedno rozwiązanie, to okazuje się, że jest ono niewymierne.

3) Jedynie ten przypadek jest ciekawy: \Delta = m^2 - 12>0   \Rightarrow m \in \left( - \infty ; -2 \sqrt{3}\right) \cup \left( 2 \sqrt{3} ; + \infty \right).

Żadne rozwiązanie nie ucieknie, bo emy, które wychodzą, należą do wyżej policzonego przedziału.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 22446
Lokalizacja: piaski
Przecież kwadratowe nie ma rozwiązań gdy delta jest ujemna; a wyjściowe ma wszystkie całkowite rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 12875
Lokalizacja: Bydgoszcz
piasek101 napisał(a):
Przecież kwadratowe nie ma rozwiązań gdy delta jest ujemna; a wyjściowe ma wszystkie całkowite rozwiązania.


Nie. Jeżeli są rzeczywiste, to są całkowite. A to nie to samo, co wszystkie całkowite
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 22:19 
Użytkownik

Posty: 22446
Lokalizacja: piaski
a4karo napisał(a):
Nie. Jeżeli są rzeczywiste, to są całkowite. A to nie to samo, co wszystkie całkowite

Nie bardzo wiem o czym piszesz.
Jakie niecałkowite rozwiązania ma wyjściowe gdy delta kwadratowego jest ujemna (przecież zadanie nie zahacza o zespolone).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 163
Jeżeli m \in (-\infty, -2\sqrt{3}) \cup (2\sqrt{3}, +\infty) to równanie posiada dwa różne pierwiastki takie jak napisałem. Jeżeli m = 2\sqrt{3} lub m = 2\sqrt{3} to równanie posiada jedno rozwiązanie -\frac{m}{2}. Jeżeli m \in (-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}) to równanie nie ma rozwiązań. Zatem, jeżeli istnieje tylko 1 rozwiązanie to m musi być parzyste, aby pierwiastek był całkowity. Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu otrzymuję, że pierwiastki całkowite należą do zbioru {-3, -1, 1, 3}, ale zgodnie ze wzorem Viete'a, iloczyn pierwiastków musi być równy 3, zatem x_1 = -1 i x_2 = -3 lub x_1 = 1 i x_2 = 3. Po podstawieniu wychodzi, że w pierwszym przypadku m = -4 natomiast w drugim m = 4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2015, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 22446
Lokalizacja: piaski
I to mi się podoba.

Tylko w przypadku braku rozwiązań kwadratowego wyjściowe ma jeden całkowity pierwiastek - o tym trzeba napisać.
A o tych (m) parzystych - z delty masz (m) niewymierne, więc do rozwiązania ich nie bierzesz (tych parzystych) bo część wspólna z ,,deltą".
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 pierwiastki-mały problem  kasiek  4
 pierwiastki  koala  2
 Pierwiastki - zadania.  Keido  4
 równania - zadanie 2  Maciek91  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl