szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2015, o 21:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 67
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie brzmi: Udowodnij, że iloczyn skalarny dwóch wektorów w układzie kartezjańskim ma postać \vec{a}  \cdot  \vec{b} = a_{x}  b_{x} +a_{y}  b_{y} +a_{z}  b_{z}
Próbowałem z długości wektorów, ale nie wiem co wpisać zamiast cos<ab i jak wyjść z pierwiastka, gdyż ostatecznie mam prawą stronę równania pod pierwiastkiem plus ten cosinus.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 paź 2015, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 872
Lokalizacja: R do M
Narysuj sobie dwa wektory i ich różnice, a potem z twierdzenia cosinusów.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 paź 2015, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 15043
Lokalizacja: Bydgoszcz
\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}, tak samo \vec{b}. Wymnóż to i skorzystaj z prostopadlosci wersorów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2015, o 21:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Niech \vec{i},\vec{j},\vec{k} to wektory jednostkowe odpowiednio osi x,y,z (tzw. wersory).
Wtedy: \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{z} i \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{z}.
Po wymnożeniu otrzymasz wyrazy:
a_x\cdot b_x\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}
a_y\cdot b_y\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}
a_z\cdot b_z\cdot\vec{k}\cdot\vec{k}
a pozostałe to iloczyny pewnych współrzędnych wektorów i różnych wersorów.
Zauważ, że \vec{i}\cdot\vec{i}=|\vec{i}|\cdot|\vec{i}|\cdot\cos0^\circ=1. Podobnie \vec{y}\cdot\vec{y}=\vec{z}\cdot\vec{z}=1.
A w podobny sposób \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0.
Stąd teza: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} +a_{y} b_{y} +a_{z} b_{z}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 paź 2015, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 15043
Lokalizacja: Bydgoszcz
Michalinho napisał(a):
Niech \vec{i},\vec{j},\vec{k} to wektory jednostkowe odpowiednio osi x,y,z (tzw. wersory).
Wtedy: \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{z} i \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{z}.
Po wymnożeniu otrzymasz wyrazy:
a_x\cdot b_x\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}
a_y\cdot b_y\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}
a_z\cdot b_z\cdot\vec{k}\cdot\vec{k}
a pozostałe to iloczyny pewnych współrzędnych wektorów i różnych wersorów.
Zauważ, że \vec{i}\cdot\vec{i}=|\vec{i}|\cdot|\vec{i}|\cdot\cos0^\circ=1. Podobnie \vec{y}\cdot\vec{y}=\vec{z}\cdot\vec{z}=1.
A w podobny sposób \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0.
Stąd teza: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} +a_{y} b_{y} +a_{z} b_{z}


No i dałeś autorowi szansę na zrobienie czegoś pożytecznego ...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie prostej, znany punkt i iloczyn odległości.  Kseon  1
 Wzór prostej - zadanie 3  Sponsor  10
 iloczyn skalarny i wektorowy - zadanie 8  januszu  0
 iloczyn skalarny - dzielenie ?  nivwusquorum  1
 Oblicz pole trójkąta, wykorzystaj wzór Herona  junior95  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl