szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 11:12 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Krosno
Mam taki przykład \left| \left| x+1\right| - x \right| \le 2, pokażę jak to rozwiązuję i proszę o wskazanie błędów bo końcowy wynik ma być taki x \in \left\langle -\frac{3}{2} ; \infty \right).

\left| x+1\right| - x \le 2 \vee \left| x+1\right| -x \ge -2 (przy okazji tutaj mam pytanie, czy to: \left| x+1\right| -x \ge -2 mogę przyjąć za sprzeczne, ponieważ wartość bezwzględna nie może być ujemna? tak zrobiłam ale proszę o wskazówki)

\left| x+1 \right| \le 2+x

\left| x+1 \right| = \begin{cases} x+1 \mbox{ dla } x \ge -1 \\ -x-1 \mbox{ dla } x<-1 \end{cases}

1. x \ge -1 \wedge x+1 \le 2+x

1 \le 2

2. x<-1 \wedge -x-1 \le 2+x

-2x \le 3

x \ge -\frac{3}{2} więc x \in \left\langle - \frac{3}{2} ; -1\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 11:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4669
Lokalizacja: Gdańsk
Nie możesz przyjąć |x+1|-x\ge -2 za sprzeczne. Zauważ, że masz za wartością bezwzględną jeszcze -x, więc całość może być ujemna. Rozpatrz jeszcze ten drugi przypadek i wtedy wyjdzie jak w odpowiedziach.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 11:42 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Krosno
Czyli mam -x-1  \ge -2 + x i z tego x  \le  \frac{1}{2} więc dalej coś nie tak
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 12:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4669
Lokalizacja: Gdańsk
-x-1\ge -2+x masz dla x<-1, więc ostatecznie x\in\left( -1,\frac{1}{2}\right]. Dla x\ge -1 masz 1\ge -2, więc x\in\left[ -1,\infty\right).

Po zsumowaniu tego i uwzględnieniu poprzednich warunków wychodzi x\in\left[ -\frac{3}{2},\infty\right).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 12:51 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Krosno
Dlaczego z x<-1 i x \le  \frac{1}{2} mam x \in \left(-1;  \frac{1}{2}\right\rangle?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 14:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4669
Lokalizacja: Gdańsk
Oczywiście mój błąd, przepraszam. Dla x<-1 wychodzi, że x\in\left( -\infty,-1\right) (bo x\le \frac{1}{2} \wedge x<-1), a dla x\ge -1 mamy x\in \left[-1,\infty\right). Ostatecznie x\in\mathbb{R}.
Teraz uwzględniasz warunki z poprzedniej nierówności i zostaje x\in \left[ \frac{3}{2},\infty\right). (część wspólna \mathbb{R} i \left[ \frac{3}{2},\infty\right))
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 15:23 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Krosno
Chyba dalej czegoś nie rozumiem, tzn. pojawił się inny problem :P. Na końcu nie sumuje tych wyników tylko wyznaczam część wspólną? Chociaż i tak wtedy część wspólna \mathbb{R} i tamtego \left\langle - \frac{3}{2} ; -1\right) to byłoby \left\langle - \frac{3}{2} ; -1\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 15:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4333
Lokalizacja: Łódź
W pierwszym poście napisałaś
sheeze napisał(a):

1. x \ge -1 \wedge x+1 \le 2+x

1 \le 2


Powinno być

x \ge -1 \Rightarrow \left| \left| x+1\right|-x \right|=\left| x+1-x\right| =1 \le 2

Z tego wynika, że x \ge -1 spełnia nierówność. Dalszych postów nie czytałam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 16:03 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Krosno
Ok masz rację, ale nie wiem dlaczego na końcu wyznaczam część wspólną tych wyników a nie sumuję i dlaczego \left\langle - \frac{3}{2};  \infty \right) a nie \left\langle - \frac{3}{2};  -1 \right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 16:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4333
Lokalizacja: Łódź
O jakiej wspólnej części wyników piszesz. Sumujesz przedziały spełniające 1, lub 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 16:17 
Administrator

Posty: 20611
Lokalizacja: Wrocław
Prościej będzie to zauważyć, jak wartości bezwzględne będziesz opuszczać od środka. Wtedy dla x\ge -1 nierówność jest spełniona:

kropka+ napisał(a):
x \ge -1 \Rightarrow \left| \left| x+1\right|-x \right|=\left| x+1-x\right| =1 \le 2

więc wszystkie x\in[-1,+\infty) są rozwiązaniami.

Drugi przypadek to x<-1, dostajesz wtedy nierówność |2x+1|\le 2. Po jej rozwiązaniu dostaniesz x\in\left[ - \frac{3}{2} ; \frac12\right], co po uwzględnieniu warunku x<-1 daje \left[ - \frac{3}{2} ; -1\right).

Teraz sumujesz [-1,+\infty) z \left[ - \frac{3}{2} ; -1\right) (bo to były przypadki) i dostajesz \left[ - \frac{3}{2} ; +\infty\right).

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 16:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4669
Lokalizacja: Gdańsk
Ogólnie jeżeli masz nierówność |x-a|\le b, to wtedy x-a\le b \ \red{\wedge} \ \black x-a\ge -b.
Gdyby była nierówność w drugą stronę |x-a|\ge b, to by było x-a\ge b \ \red{\vee} \ \black x-a\le -b.

Czyli bierzemy część wspólną z tego, co wyszło w obu nierównościach:
|x+1|-x\le 2 \ \red{\wedge} \ \black |x+1|-x\ge -2.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 paź 2015, o 16:41 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Krosno
Już teraz rozumiem, dziękuję bardzo :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność z wartościami bezwzględnymi  pupiziel  3
 Nierówność z wartościami bezwzględnymi - zadanie 2  Azetinho  2
 Nierówność z wartościami bezwzględnymi - zadanie 3  karpadros  3
 Nierówność z wartościami bezwzględnymi - zadanie 4  laser15  1
 Nierówność z wartościami bezwzględnymi - zadanie 5  Hazelinka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl