szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 145
X_{n+2} + X_{n}=0\\
X_{0}=0\\
x_{1}=1

Co znaczy rozwiąż równanie rekurencyjne?
Znaleźć wzór jawny dla rekurencji korzystając z równania charakterystycznego?
i dwóch wzorów 1)Przy jednym pierwiastku lub 2)Przy dwóch pierwiastkach?

Proszę o pomoc jak rozumieć "Rozwiąż równanie rekurencyjne" i jak to zrobić.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 17 paź 2015, o 20:04 
Użytkownik
Rozwiąż czyli wskaż jak wygląda wyraz ogólny tego ciągu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 20:08 
Użytkownik

Posty: 145
Czy to znaczy znaleźć wzór jawny rekurencji?
Proszę rozpisz to dokładnie.
Góra
PostNapisane: 17 paź 2015, o 20:09 
Użytkownik
Tak. Co to jest wzór jawny znajdziesz przecież przez google, więc od tego bym zaczął
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 145
Niestety nadal nie wiem jak to rozwiązać.
Znaleźć wzór jawny dla
np. a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}
wiem
Wyznaczam p i g
Podstawiam do wzoru charakterystycznego
X ^{2} -pX-q
Obliczam Deltę i pierwiastki
W zależności ile pierwiastków korzystam z jednego z dwóch wzorów, ale w tym zadaniu jest podane
X_{n+2}+X_{n}=0 i co mam z tym zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 21:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
r^2+1=0

r_{1}=i, r_{2}=-i
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 145
Proszę opisz jak postępujesz, jaki jest schemat działania.

-- 17 paź 2015, o 21:23 --

To zadanie jest jakieś inne od postaci: a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 22:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
To moje równanie charakterystyczne jest do twego pierwszego postu


a do twego ostatniego postu równanie ma postać:

r^2=r+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 22:44 
Użytkownik

Posty: 145
równanie charakterystyczne z:

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}

podstawiamy odpowienie potęgi za a_{n},a_{n-1},a_{n-2}

czyli
r^2=r^1+r^0
dlatego
r^2=r+1

ale nie sposób obliczyć pierwiastka Delty
Działania na liczbach zespolonych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 22:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
a co ci przeszkadzają liczby zespolone?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 1871
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Dla pierwszego r_1=i oraz r_2=-i, a to oznacza, że a_n=C_1 \left( i \right) ^n+C_2 \left( -i \right) ^n.
Dalej a_n=C_1\cdot i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right) -C_2\cdot i \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right),
a stąd widać że C_1=-\frac{i}{2} a C_2=\frac{i}{2}.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 paź 2015, o 23:09 
Użytkownik

Posty: 15096
Lokalizacja: Bydgoszcz
Mam lepszy pomysł: wypisz sobie 8 pierwszych wyrazów tego ciagu. Może coś ci się rzuci w oczy...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2015, o 23:12 
Użytkownik

Posty: 145
Przy dwóch pierwiastkach korzystam ze wzoru:
a_{n}=C_{1} \cdot  \left( X_{1} \right) ^n+C_{2} \cdot  \left( X_{2} \right) ^n

a za \left( i \right) ^n podstawiam i \cdot \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)
\left( -i \right) ^n=-i  \cdot  \sin \left( \frac{\pi n}{2} \right)

na przekształcenie "potęgi liczby zespolonej" jest taki wzór, taki jak zastosowałeś.

Jak się pozbywasz tego sin i Pi n?

-- 17 paź 2015, o 22:31 --

Dzięki za pomoc :)

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2015, o 18:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Funkcje tworzące byłyby wygodniejsze
Funkcje trygonometryczne dostajemy po zastosowaniu wzoru de Moivre

a_{n}=-2a_{n-1}+3a_{n-2}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}  \\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{-2a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-2}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+3x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0}-a_{1}x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0} \right) +3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x=-2x\left( A\left( x\right)-a_{0} \right)+3x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+2x-3x^2\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{1+2x-3x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
\frac{p}{1+3x}+\frac{q}{1-x}=\frac{a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x}{\left(1+3x\right)\left(1-x\right)}\\
p\left(1-x\right)+q\left( 1+3x\right)=a_{0}+\left(a_{1}+2a_{0}\right)x\\
 \begin{cases} p+q=a_{0} \\ -p+3q=a_{1}+2a_{0} \end{cases}\\
 \begin{cases} p=a_{0}-q \\ 4q=a_{1}+3a_{0} \end{cases}\\
 \begin{cases} p=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right)  \\ q=\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right)  \end{cases} \\

A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot  \frac{1}{1+3x}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \cdot  \frac{1}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right) \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -3\right)^nx^n }+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right) \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}\\
  a_{n}=\frac{1}{4}\left(-a_{1}+a_{0}\right)  \cdot \left(-3 \right) ^{n}+\frac{1}{4}\left(a_{1}+3a_{0} \right)\\
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 paź 2015, o 19:07 
Użytkownik

Posty: 15096
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ludzie, mówimy o ciagu
X_{n+2} + X_{n}=0\\
X_{0}=0\\
x_{1}=1

czyli 0,1,0,-1,0,1,0,-1....
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równanie rekurencyjne  Sachato  2
 Rozwiąż równanie rekurencyjne - zadanie 4  darved  8
 Rozwiąż równanie rekurencyjne - zadanie 5  wassabi  14
 Rozwiąż równanie rekurencyjne - zadanie 6  studciak123  2
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl