szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2015, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 206
Niech a i b będą liczbami dodatnimi takimi, że a ^{2} + b ^{2}  \le 2
Udowodnij, że a+b \le 2
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 21 paź 2015, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Wskazówka: (a+b)^{2}\le2+2ab oraz 2ab\le a^{2}+b^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2015, o 19:33 
Użytkownik

Posty: 1845
Lokalizacja: Radom
Zalozmy,ze ab>1 \Leftrightarrow a> \frac{1}{b} \Leftrightarrow  a^2>\frac{1}{b^2} \Rightarrow a^2 + b^2>\frac{1}{b^2} + b^2=\frac{1 + b^4}{b^2} \ge 2
Poniewaz :
\frac{1 + b^4}{b^2} \ge 2 \Leftrightarrow 1 + b^4 -2b^2 \ge 0
Sprzecznosc z zalozeniem
Zatem:
ab \le 1
Zatem:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2015, o 19:47 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
Mamy oczywiście \frac{a^{2}+b^{2}}{2}  \le 1 czyli \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} } \le 1, a stąd 1 \ge  \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} }  \ge  \frac{a+b}{2} skąd teza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2015, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 382
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
A może spojrzeć na to jak na koło na płaszczyźnie zespolonej z=a+bi.... to chyba rozwiaze problem :)
z=\sqrt{2} \cdot \cos a + \sqrt{2} \cdot i \sin a
Wówczas a+b  \le  \sqrt{2} (\cos a + \sin a) = \sqrt{2} \cdot \sin (a+ \frac{\Pi}{4})
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód, że liczby jednocześnie nie mogą być zerem  bienkova  4
 Równanie z pierwiastkami, przekształcenie i dowód  mlawnik  2
 Zadanie - dowód. - zadanie 22  truskawkaa  1
 pierwiastek z x - liczba niewymierna - dowód  Miroslav  9
 Wyrażenia algebraiczne - dowód  Artut97  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl