szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2015, o 18:57 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
Zaczynam przygodę z symbolem Newtona i sumami i mam pewien problem.

Chciałbym pokazać równość dwóch poniższych sum:
1. - \sum_{s=2}^{r+1}  {r+1 \choose s} (-1)^s k^{r+1-s}

2. \sum_{s=0}^{r-1} {r+1 \choose s} (-1)^{r-s} k^s

Próbuję przekształcić 1 do 2. Najpierw wciągam minus do sumy (zmieniając potęgę -1), następnie zmniejszam indeksy o dwa, a póżniej przekształcam dwumian Newtona żeby był taki sam jak w 2, a później nie widzę dobrego rozwiązania problemu. Powinienem zabrać się za to inaczej?

Wyszło mi na razie z 1:

\sum_{s=0}^{r-1} {r+1 \choose s} \frac{(r-s)(r-s-1)}{(s+1)(s+2)}} (-1)^{s+3} k^{r-s-1}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 paź 2015, o 00:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
Co się stanie, gdy dodasz do siebie te sumy?
Wsk. {r+1 \choose s}={r+1\choose r+1-s}

-- 25 paź 2015, o 23:53 --

Aha, Twoje przekształcenie wygląda zniechęcająco, dlatego nie komentowałem go w żaden sposób. Nie bardzo chce mi się sprawdzać, czy do czegoś prowadzi, wybacz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2015, o 01:28 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
Dodać mogę, ale nic spektakularnego w tym nie widzę. Tzn. w 1. wyciągam pierw r+1 i r, a w 2. 0 i 1, następnie dodaję sumy s=2,..., s=r-1 i te wyciągnięte. O to chodzi?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 paź 2015, o 01:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
Ja myślę, że nie potrzeba Ci niczego spektakularnego.
Powtórzę może: {r+1 \choose s}={r+1\choose r+1-s}. To jest mocna wskazówka co do tego, które wyrazy do siebie pododawać. Zmniejszanie indeksów jest niepotrzebne.

-- 26 paź 2015, o 00:35 --

Aa, już wiem, bo to trzeba było odjąć zamiast dodać, dlatego nie wychodzi Ci nic spektakularnego. Jak odejmiesz i pogrupujesz tak, jak sugeruję, to dostaniesz okrągłe zero.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2015, o 02:01 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
Więc tak, odjąłem od dwójki jedynkę i musi mi wyjść zero. W 1. wyciągnąłem r i r+1, a w 2. wyciągnąłem s=0 i s=1. Czyli mam 4 wyciągnięte składniki, gdzie po 2 takie same z róznicą potęgi (-1) o 1 czyli jedno jest negatywne, a drugie pozytywne czyli sumują się ładnie do zera. Zostaje mi "środek" czyli
\sum_{s=2}^{r-1}  {r+1 \choose s} ((-1)^{r-s} k^s + (-1)^s k^{r+1-s}) i muszę pokazać, że jest równy 0. Tutaj mam skorzystać z Twojej wskazówki? Nie bardzo widzę co ona mi tutaj daje.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 paź 2015, o 02:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
Niestety to nie musi być równe zeru, więc coś zepsułeś, ale nie widząc wszystkich przekształceń, nie wiem co dokładnie.
W mojej wskazówce chodziło o to, żebyś zauważył/pokazał, że wyraz numer n w tej sumie 1. jest równy minus wyrazowi numer r-1-n w sumie drugiej (dla n=1...r-1, tj. s=2,...r+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2015, o 02:14 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
Zaraz, zaraz... Czy prawdą jest s = r+1 -s? Jeżeli tak to wszystko u mnie się zgadza i mój "środek" musi być równy 0. Wtedy k do potęgi są równe, a przy (-1) mamy raz plus a raz minus czyli łącznie 0 i cała suma jest rówana zero. Pytanie tylko czy s = r+1 -s, jeżeli tak to dlaczego?

PS. Ale już widzę, że się chyba nie zgadza bo s=0 daje 0 = r+1, a r+1 nie musi być równe 0.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 paź 2015, o 02:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
W ogólności to nie musi być prawdą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2015, o 02:20 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
OK, jutro to dokończę, bo już padam. Dzięki za pomoc. Jak będę miał problemy to napiszę.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 paź 2015, o 02:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
Tak sobie myślę, że moja wskazówka była niepotrzebnie skomplikowana, nic odejmować nie trzeba.
Piszemy, że - \sum_{s=2}^{r+1} {r+1 \choose s} (-1)^s k^{r+1-s}=\sum_{s=2}^{r+1} {r+1 \choose s} (-1)^{s-1} k^{r+1-s} i teraz wystarczy, że tę sumę przepiszemy w odwrotnej kolejności składników.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 paź 2015, o 09:48 
Użytkownik

Posty: 12857
Lokalizacja: Bydgoszcz
Weź sobie np r=5 i wypisz składniki tych sum. Potem przyjrzyj się temu, co jest napisane.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2015, o 23:53 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
Po rozpisaniu od razu widać to co masz chyba na myśli Premislav, czyli dodawanie pierwszego z ostatnim, drugiego z przedostatnim itd. (sumują się do zera). Argumentacja też nie jest trudna.

Szerze mówiąc nie wiem Premislav, co porobiłeś z tymi potęgami. Albo źle przepisałeś.

Finalnie zrobiłem to tak:

Indeksy s=0,1,r,r+1 pominąłem, bo nietrudno sprawdzić, ze sumują się do zera. Pozostało sprawdzić, że

\sum_{s=2}^{r-1}  {r+1 \choose s} (-1)^{r-s} k^s + \sum_{s=2}^{r-1}  {r+1 \choose s} (-1)^{s} k^{r+1-s} = 0

Korzystając z pierwszej wskazówki mamy

\sum_{s=2}^{r-1}  {r+1 \choose s} (-1)^{r-s} k^s + \sum_{s=2}^{r-1}  {r+1 \choose r+1-s} (-1)^{s} k^{r+1-s}.

Niech x oznacza, który składnik bierzemy, czyli x=0 oznacza, że z pierwszej sumy biorę s=2+x=2+0=2, z drugiej r-1, x=1 z kolei s=2+x=2+1, a z drugiej strony r-1-x=r-1-1 itd.

Więc dla dowolnego x z przedziału mamy z jednej strony
{r+1 \choose 2+x, a z drugiej {r+1 \choose r+1-(r-1-x)} = {r+1 \choose 2+x, które sumujemy czyli dwumian Newtona jest taki sam.

Z jednej strony mamy k^{2+x}, a z drugiej k^{r+1-(r-1-x)} = k^{2+x} czyli znowu równość.

Pozostaje pokazać, że (-1) ma potęgę różną o 1, bo wtedy sumy się zredukują do zera. Z jednej strony mamy (-1)^{r-2-x}, a z drugiej (-1)^{r-1-x} czyli różnią się o 1.

-- 26 paź 2015, o 23:09 --

PS. Premislav, teraz widzę, że Twoje drugie podejście jest jeszcze prostsze. Pytanie tylko skąd te pozmieniane potęgi.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 paź 2015, o 00:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
Masz dobrze. Co do pytania o moje przekształcenie:
w sumie - \sum_{s=2}^{r+1} {r+1 \choose s} (-1)^s k^{r+1-s}
włączyłem tego minusa pod znak sumy, co daje \sum_{s=2}^{r+1} {r+1 \choose s} (-1)^{s+1} k^{r+1-s}, a następnie wykorzystałem to, że (-1)^{2}=1

Teraz już naprawdę muszę znikać, miłego wieczoru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 paź 2015, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 238
Lokalizacja: Polska
Aha, czyli przekształciłeś 1. Brakuje mi jeszcze tego, że ta przekształcona 1 jest równa 2.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkładanie sumy na czynniki - zadanie 2  xyz123  3
 Sumy algebraiczne - równanie  Even94  1
 Zapis sumy, czy poprawny?  ms7  6
 Odwrotność kwadratu sumy liczb a i b jest równa?  Rockefeler17  2
 wzór na kwadrat sumy trzech liczb  Matix16  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl