szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2015, o 17:37 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Gdańsk
Jeżeli liczba przy podziale na 7 daje resztę 2, a przy podziale na 3 daje resztę 1, to ile daje przy podziale na 21? Wyszło mi że 16. Ale próbuję to algebraicznie wykazać i nie wychodzi. Proszę o podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2015, o 18:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10561
Lokalizacja: Wrocław
Oznaczmy tę liczbę przez x. Masz x\equiv 2\pmod{7} \wedge x\equiv 1\pmod{3}, zatem po pierwsze istnieje takie k całkowite, że x=7k+2, a po drugie istnieje takie p całkowite, że x=3p+1. Czyli ma być dla pewnych p, k całkowitych
7k+2=3p+1, tj. p= \frac{7k+1}{3}, a więc (bo p ma być całkowite) 7k\equiv 2\pmod{3}, mnożąc tę kongruencję stronami przez 2 i redukując wielokrotności trójki, mamy 2k\equiv 1\pmod{3}, skąd płynie wniosek, że k\equiv 2\pmod{3}. Czyli z kolei istnieje takie n \in \ZZ, że k=3n+2, a więc
x=7k+2=...
W ten sposób znajdujesz rozwiązanie, a jako że \NWD(3,7)=1, to z chińskiego twierdzenia o resztach jest to jedyne rozwiązanie tego układu modulo 21.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 paź 2015, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 1890
Lokalizacja: Warszawa
x=7n+2 \\
 x=3n+1

3x=21n+6 \\
 7x=21n+7

15x=105n+30 \\
 14x=42x+14

odejmuję stronami

x=63n+16
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2015, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Gdańsk
Nie rozumiem od " mnożąc tę kongruencję... " Napiszesz jak wyglądały obliczenia? - bo najwyraźniej nie rozumiem jak się wykonuje działania na funkcji modulo.

Dzięki Ania221 o to mi chodziło - nie zauważyłem tej opcji.

Premislav nie zauważyłem braku znaku zapytania - przepraszam jeśli zostałem żle odebrany.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2015, o 21:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10561
Lokalizacja: Wrocław
Twoje zdanie nie jest w formie pytania (zresztą nie ma znaku zapytania), więc brzmi jak stwierdzenie/polecenie, a to trochę niegrzecznie.

Dochodzimy do 7k\equiv 2\pmod{3}. Mnożymy to stronami przez 2 i mamy 14k\equiv 4\pmod{3} (jak nie rozumiesz, czemu tak można, to spójrz na to tak: liczba 7k daje się zapisać jako 3l+2 dla pewnego l całkowitego, a zatem
liczba 2\cdot 7k może być zapisana jako 6l+4, co daje taką samą resztę, jak 4 z dzielenia przez trzy). no i teraz zauważamy, że 14k=12k+2k oraz 3|12k (bo k z założenia było całkowite). no to liczby różniące się o wielokrotność 3 dają taką samą resztę z dzielenia przez 3, więc 2k\equiv 4\pmod{3}, czyli 2k=3j+4 dla pewnego j całkowitego, a wszak 3j+4=3(j+1)+1, co daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Dochodzimy do momentu 2k\equiv 1\pmod{3}, no i znowu mnożymy stronami przez dwa i redukujemy (zauważ, że można było od razu pomnożyć kongruencję 7k\equiv 2\pmod{3} stronami przez 4 i zredukować, byłoby krócej i szybciej, ale ja jestem idiotą i tego nie zauważyłem).
no i już pozostałe wnioski powinny być jasne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2015, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Gdańsk
Teraz jasne- to przejście od 14k do 2k nie widziałem jak zrobiłeś - teraz już rozumiem- dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielnosc liczb parzystych  zomb  1
 Reszta z dzielenia - podzielność  MatizMac  5
 Podzielność przez 5 - zadanie 3  TwojaKotQ  1
 Podzielność kwadratu liczby i samej liczby przez 7  goku94  2
 Udowodnij podzielność przez 3.  allison  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl