szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2015, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 44
Należy udowodnić niewymierność \sqrt{ n^{2} + 4}
możemy to zrobić nie wprost i szukać sprzeczności, czyli \sqrt{ n^{2} + 4}  =  \frac{k}{m}
podnoszę do kwadratu i otrzymuję m^{2}\left(  n^{2} + 4\right) =  k^{2} .
Sprawdzam dla n parzystych w zależności od parzystości k itd.
Dochodzę do momentu kiedy n jest parzyste, k jest parzyste (drugi przypadek wątpliwy n jest nieparzyste i k jest nieparzyste) i nie mogę wykazać sprzeczności.

Może istnieje inne rozwiązanie lub czegoś nie widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2015, o 17:29 
Użytkownik

Posty: 13580
Lokalizacja: Bydgoszcz
Można skorzystac z faktu, że pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest kwadratem. Wtedy n^2<n^2+4<(n+1)^2 dla n>1. A dla n=1 na piechotę.

-- 29 paź 2015, o 17:35 --

Albo tak: \sqrt{n^2+4} jest pierwiastkiem równania x^2-(n^2+4)=0, zatem ma pierwiastki całkowite lub niewymierne. Jeśeli całkowite (np. k, to k^2-n^2=4, czyli
(k-n)(k+n)=4. Dalej juz prosto.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2015, o 17:39 
Użytkownik

Posty: 44
wielkie dzięki. czyli wystarczy napisać że n^{2} + 4 mieści się pomiędzy dwa kolejnymi liczbami wymiernymi, prawda (plus osobno dla n=1)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2015, o 17:40 
Użytkownik

Posty: 13580
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wow, jeszcze nikomu nie udało się znaleźć dwóch kolejnych liczb wymiernych :D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2015, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 44
taak :). ale chyba widać o co mi chodzi.

-- 30 paź 2015, o 00:41 --

Cytuj:
-- 29 paź 2015, o 17:35 --

Albo tak: \sqrt{n^2+4} jest pierwiastkiem równania x^2-(n^2+4)=0, zatem ma pierwiastki całkowite lub niewymierne. Jeśeli całkowite (np. k, to k^2-n^2=4, czyli
(k-n)(k+n)=4. Dalej juz prosto.


wiem, x^2-(n^2+4)=0 ma pierwiastki niewymierne lub wymierne, ale dlaczego zaraz całkowite :| ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2015, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Cytuj:
wiem, x^2-(n^2+4)=0 ma pierwiastki niewymierne lub wymierne, ale dlaczego zaraz całkowite :| ??


Gdyby to równanie miało pierwiastek wymierny i niecałkowity to x= \frac{p}{q} dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych p i q. Po podstawieniu dostajemy równanie równoważne wyjściowemu p^2=q^2(n^2+4), prawa strona jest podzielna przez q zatem lewa też musi być, więc powinno być q|p no i sprzeczność, że q i p są względnie pierwsze, czyli x jest całkowite.
Więc jeśli x jest liczbą wymierną - to jest też całkowitą.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij niewymiernosc - zadanie 5  waliant  5
 Udowodnij niewymierność - zadanie 8  Dario1  8
 Udowodnij niewymierność - zadanie 9  Dario1  1
 Udowodnij niewymierność  Marta99  5
 Udowodnij niewymiernosc  Wozak  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl