szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2015, o 14:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3232
Lokalizacja: blisko
Jest prostokąt o wymiarach a na b gdzie a i b liczby naturalne, prostokąt podzielono na kwadraty jednostkowe o boku 1.
W każdej kolumnie prostokąta jest dokładnie zamalowane n kwadratów(zamalowania kolumnowe są parami różne), gdzie n \le b
Ile jest takich istotnie różnych prostokątów z dokładnością do:

a) grupy symetrii prostokąta

b) permutacji wierszy i kolumn

Może przybliżę na kwadracie trzy na trzy:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 7 & 6 & 5 \\ \hline
8 & 9 & 4 \\ \hline
1 & 2 & 3 \\ \hline
\end{tabular}

Wypiszę teraz grupę symetrii tegoż kwadratu obroty i symetrie osiowe:

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) - identyczność

(1357)(2468)(9) - obrót o 90^o

(15)(26)(37)(48)(9) - obrót o 180^o

(1753)(2864)(9) - obrót o 270^o

(13)(48)(57)(2)(9)(6) - symetrie względem prostych:

(17)(26)(35)(4)(8)(9)

(24)(15)(68)(3)(7)(9)

(28)(37)(46)(1)(5)(9)

Grupa G składa się z ośmiu elementów,

Teraz zgodnie z twierdzeniem Polyi tworzymy indeks cykli:

f'=f_{1}^9+2f_{4}^2f_{1}+f_{2}^4f_{1}+4f_{2}^3f_{1}^3

Ponieważ mamy tylko dwa kolory czarny i biały możemy użyć do i -tego indeksu taki wielomian:

f_{i}=1+x^i

po podstawieniu otrzymamy:

f'=(1+x)^9+2(1+x^4)^2(1+x)+(1+x^2)^4(1+x)+4(1+x^2)^3(1+x)^3

Po wymnożeniu i skróceniu otrzymamy:

f' = 8 x^9+24 x^8+64 x^7+128 x^6+184 x^5+184 x^4+128 x^3+64 x^2+24 x+8

Podzielmy to jeszcze przez rząd grupy G:

f = x^9+3 x^8+8 x^7+16 x^6+23 x^5+23 x^4+16 x^3+8x^2+3x+1

I teraz na podstawie tego wielomianu możemy zliczać wszystko np ile jest kwadratów różnych w których zamalowano na czarno tylko dwa małe kwadraciki - jest 8

Jeśli chcemy zliczyć wszystkie kolorowania to dodajemy współczynniki przy wielomianie, itd...

Teraz jeżeli chcemy permutować wiersze i kolumny sądzę, że musimy wziąć grupę H, gdzie:

H=H_{1} \times  H_{2}, gdzie H_{1} - permutacja kolumn, H_{2} - permutacja wierszy.

I znowu rozpisywać.Na razie to wiem ale problem pojawia się wtedy gdy chcę, żeby w każdej kolumnie
było tyle samo czarnych kwadracików już pal sześć , żeby były parami różne bo grupa by wyeliminowała to(poradziła by sobie)!

H_{1}:

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

(12)(89)(67)(3)(4)(5)

(13)(48)(57)(2)(6)(9)

(23)(49)(56)(1)(7)(8)

(123)(894)(765)

(123)(849)(756)


H_{2}:

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

(18)(29)(34)(5)(6)(7)

(17)(26)(35)(4)(8)(9)

(78)(69)(45)(1)(2)(3)

(187)(296)(345)

(178)(269)(354)

H=H_{1} \times H_{2}

-- 1 listopada 2015, 16:47 --

Łatwo zauważyć, że:

H=H_{1} \times H_{2}=H_{2} \times H_{1}

Bo czy permutuję najpierw wiersze a potem kolumny czy na odwrót nie jest to istotne.

Tak czy siak grupa H ma 36 elementów

-- 1 listopada 2015, 16:48 --

I mam problem z ustaleniem, żeby w każdej kolumnie było tyle samo elementów!

-- 1 listopada 2015, 16:55 --

Czarnych
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ilość prostokątów - zadanie 2  Hendra  1
 Kombinacja. Ilosc przekatnych.  Susanel  5
 Ilość rozwiązań równania - zadanie 10  Dominik J  2
 Kombinatoryka (ilość liczb)  olczix  3
 2 cyfry, 10 sposobów, ilość kombinacji z wyjątkami.  david91  5
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl