szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2015, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Obliczyć sumę S _{n}= \sum_{k=0}^{n} 1+2k w następujący sposób. Dokonując zamiany wskaźnika sumacyjnego k \rightarrow l=n-k otrzymujemy nową postać sumy S _{n}= \sum_{l=0}^{n}\left( \right). Dodając oba wyrażenia na sumę obliczamy 2S _{n} (wskaźniki sumacyjne oznaczamy przy tym tą samą literą j).
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2015, o 18:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Przecież napisano Ci noir sur blanc, co masz zrobić. Czego oczekujesz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2015, o 18:17 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Oczekuję, że ktoś krok po kroku pokaże jak to zrobić bo mam pewne wątpliwości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2015, o 18:27 
Użytkownik

Posty: 7340
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Jak są to wątpliwości, to coś już sądzę masz
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2015, o 18:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Przedstaw zatem swoje wątpliwości. Rozwiązania krok po kroku upośledzają ludzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2015, o 19:14 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Nie sądzę, że upośledzają ludzi. Na przykładach się najlepiej uczyć. Ale dobra. O co chodzi z tą zamianą wskaźnika i po co to jest.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2015, o 19:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Na pewno słyszałeś taką zmyśloną historyjkę o Gaussie (tym szkodniku, którego eliminacji uczą na algebrze liniowej, tzw. metoda eliminacji Gaussa </suchar>). Rzekomo (czyli tak naprawdę: nie) miał on dostać na lekcji takie zadanie - zsumować liczby naturalne od 1 do iluś tam (stu? Tysiąca? [ciach], to nic nie zmienia). No to on tak sobie zauważył (znowu: nieprawda, on w wieku szkolnym już zajmował się ambitniejszymi rzeczami):
zapiszemy sobie
1+2+3+...+98+99+100\\100+99+08+...+3+2+1
i teraz zauważmy, że gdy zsumujemy liczbę nad z liczbą pod, to dostaniemy 100 składników, a każdy równy 101. Czyli zapiszmy S=1+2+...+100. Wtedy 2S=100\cdot 101. Kapujesz?
Tu (tj. w Twoim zadaniu) idea jest podobna, tylko że stosujemy tę konwencję sumacyjną:
bierzemy 2\sum_{k=0}^{n}(1+2k)=\sum_{k=0}^{n}(1+2k)+\sum_{k=0}^{n}(1+2k)
i teraz inaczej zapisujemy drugą sumę(darujmy sobie to j, bo to chyba specjalnie napisano, by zaciemnić obraz :)) - gdy k zmienia się od zera do n, przebiegając wartości naturalne, to l=n-k zmienia się od n do zera, również po wartościach naturalnych, tyle że w drugą stronę (malejąco miast rosnąco). Czyli pierwszy wyraz tej sumki zapisanej w odwrotnej kolejności to jest 1+2n=1+2(n-0), drugi to jest -1+2n=1+2(n-1), etc. Dostrzegasz prawidłowość?
I na koniec bezczelnie zamieńmy sobie w pierwszej sumie indeks na l zamiast k, po czym dodajmy wyraz po wyrazie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2015, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Znam tą opowieść i jest ona prawdziwa.

A co do zadania to czy możemy sobie tak po prostu zamienić wskaźnik sumowania z \sum_{k=0}^{n}(1+2k) na \sum_{l=n}^{0}(1+2l)? Czy nie wymaga to głębszego uzasadnienia? A co do prawidłowości to widzę, że obie sumy dadzą wyrażenie
2+2n czyli ostatecznie to da \left( n+1\right)\left( 2+2n\right)/2. Ale jak to zapisać to przejście?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2015, o 20:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
No to ślicznie, ja się tu produkowałem, a Ty nie załapałeś idei. Chyba nie umiem tłumaczyć.
Taka zmiana zapisu, jaką proponujesz, kompletnie nic nie wnosi, jest poprawna, choć brzydko wygląda, ale nie daje rozwiązania zadania. Spróbuj zapisać
\sum_{k=0}^{n}(1+2k) w takiej postaci, by mieć "czyste" n w każdym wyrazie. Przecież pisałem, jak to zrobić. Dla l=0 masz 1+2(n-0), dla l=1 masz 1+2(n-1) etc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2015, o 21:36 
Użytkownik

Posty: 12582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Premislav napisał(a):
No to ślicznie, ja się tu produkowałem, a Ty nie załapałeś idei. Chyba nie umiem tłumaczyć.
Taka zmiana zapisu, jaką proponujesz, kompletnie nic nie wnosi, jest poprawna, choć brzydko wygląda, ale nie daje rozwiązania zadania. Spróbuj zapisać
\sum_{k=0}^{n}(1+2k) w takiej postaci, by mieć "czyste" n w każdym wyrazie. Przecież pisałem, jak to zrobić. Dla l=0 masz 1+2(n-0), dla l=1 masz 1+2(n-1) etc.


Ano wnosi, Sumowanie oznacza (przy braku innych szczegółowych ustaleń, że wskaznik inkrementuje sie o 1 w każdym kroku. Stąd wniosek, że suma po prawej stronie jest pusta dla n>1
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 paź 2015, o 21:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
To przepraszam bardzo.
BTW "inkrementować o jeden" to pleonazm. :twisted:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2015, o 00:13 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Ja nie wiem do końca jak zapisać tą drugą sumę.

Próbuję tak:
\sum_{k=0}^{n}\left( 1+2k\right)+ \sum_{k=n-l}^{0}\left( 1+2\left( n-l\right) \right)=
\sum_{j=0}^{n}\left( 1+2j\right)+ \sum_{j=0}^{n}\left( 1+2\left( n-j\right) \right)=
\sum_{j=0}^{n}\left( 1+2j+1+2n-2j\right)= \sum_{j=0}^{n}\left( 2+2n\right)=\left( n+1\right)\left( 2+2n\right)=\left( n+1\right)\left( 1+1+2n\right).
Czyli otrzymujemy:
\sum_{k=0}^{n}\left( 1+2k\right)= \frac{\left( n+1\right)\left( 1+1+2n\right)  }{2}.

Zgadza się?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 lis 2015, o 00:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
\sum_{j=0}^{n}\left( 1+2j\right)+ \sum_{j=0}^{n}\left( 1+2\left( n-j\right) \right)=

Tu już jest OK, dalej zakładam, że liczyć umiesz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2015, o 02:42 
Użytkownik

Posty: 12582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
\sum_{k=n-l}^{0}\left( 1+2\left( n-l\right) \right)=


ta suma nie jest tym o co chodzi z dwóch powodów: pomijając granice sumowanie (które powodują, że ta suma to zero) w wyrażeniu tym sumuje sie wyrazy, które nie zależą od wskażnika sumowania (jest nim k)

Powinna ona wyglądać tak, jak u Premislava powyżej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2015, o 00:37 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No to więc właśnie. Jak to należy zrobić? Ten zapis jest jakiś dziwny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 konwencja sumacyjna  cain11  1
 konwecja sumacyjna  Kamilian1991  0
 Przyjęta konwencja czy jednak logika ?  Asakura  9
 Konwencja Einsteina - dowód - zadanie 2  marpus  5
 Notacja Sumacyjna  95072504857  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl