szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 16:21 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Łódź
Zad1 Znaleźć wszystkie liczby naturalne n dla których liczban^{2}+1 jest podzielna przez n+1.
Zad2
Dla każdej liczby naturalnej a znaleźć liczbę złożona n ,taką iż n|a^{n}-a
Zad3
Dowieść że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że n|2^{n} +1 i znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze n.

Jak to jest w ogóle z tą podzielnością istnieją jakieś konkretne metody, no bo wiem jakie są warunki by liczba była podzielna przez 2, 3, 4 i tak dalej.Ale co zrobić gdy mam taka sytuacja jak w zadaniu pierwszym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 17:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 115
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pierwsze to mozesz tak zrobic:
n^{2}+1=n^{2}+2n+1-2n=(n+1)^{2}-2n i po paru przemysleniach n=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 18:17 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Łapy/Białystok
I po paru przemyśleniach :D hehe
Po prostu n^2 + 1 = (n-1)(n+1) + 2 więc (n+1)|2

A co do drugiego, to gdy a jest nieparzyste, wystarczy wziąć n = 2a, natomiast jeżeli jest parzyste i większe od dwóch to zawsze jest złożone i wtedy wez sobie n = a. Wiec wystarczy sprawdzić oddzielnie przypadek dla a = 2 czyli wezmy dla tego przypadku n = 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 19:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Ad 3:
Zadanie to pojawia się w książce "200 zadań z elementarnej teorii liczb" Wacława Sierpińskiego i pozwolę sobie zacytować zaprezentowane tam rozwiązanie:
Mamy 3| 2^3 +1, jeżeli zaś przy pewnym naturalnym m jest 3^m |2^{3^m} +1, to 2^{3^m} = 3^m \cdot k -1, gdzie k jest liczbą naturalną, skąd 2^{3^{m+1}} =(3^m \cdot k -1)^3=3^{3m} \cdot k^3 - 3^{2m+1} \cdot k^2 + 3^{m+1} \cdot k -1= 3^{m+1} \cdot t - 1, gdzie t jest liczbą naturalną, zatem 2^{3^{m+1}} +1=3^{m+1} \cdot t, skąd 3^{m+1} | 2^{3^{m+1}} +1, skąd wynika przez indukcję, że 3^{m} | 2^{3^m} +1 dla m=1,2, ... . Ale są i inne liczby naturalne n, spełniające warunek n |2^n +1. Jeżeli bowiem przy pewnym naturalnym n mamy n| 2^n +1, to mamy też 2^n +1 | 2^{2^n +1} +1, gdyż, jeżeli 2^n +1=k \cdot n, gdzie k jest liczbą naturalną, oczywiście nieparzystą, to 2^n +1 | 2^{kn} +1= 2^{2^n +1} +1. Tak więc z 9|2^9 +1 wynika, że 513| 2^{513} +1.
Przypuśćmy teraz, że n jest liczbą pierwszą oraz n|2^n +1. W myśl małego twierdzenia Fermata mamy wtedy n|2^n -2, zatem, wobec n|2^n +1, jest n|3, a ponieważ n jest liczbą pierwszą, więc n=3. Istotnie 3|2^3 +1. Zatem istnieje t ylko jedna liczba pierwsza n taka, że n|2^n +1, mianowicie n=3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 385
Lokalizacja: Łódź
a czemu n+1 jet podzielne przez dwa,
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 3393
po prostu dzielimy n^2+1 przez n+1
a więc \frac{n^2+1}{n+1}=\frac{(n-1)(n+1)+2}{n+1}=(n-1)+\frac{2}{n+1}
aby wynik był całkowity ułamek \frac{2}{n+1} też musi mieć wartość całkowitą
czyli n+1=2\; n=1 \vee n+1=1\; n=0\vee n+1=-1\;n=-2 \vee n+1=-2\; n=-3
ja bym to tak rozwiązał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2007, o 21:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
A ponieważ n ma być naturalne, to otrzymujemy, że n=0 lub n=1 ( o ile zakładamy, że zero jest naturalne ;).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 15:56 
Użytkownik

Posty: 3393
aha zaudi, jeszcze jedno, to co napisał palazi, oznacza że 2 jest podzielne przez (n+1), nie na odwrót.
palazi, o takie coś Ci chodziło w 2?
jeśli dobrze zrozumiałem treść Twojego przesłania to:
dla a parzystego :
\frac{a^a-a}{a}=a^{a-1}-1 co jest zawsze liczbą całkowitą.
a dla nieparzystego:
\frac{a^{2a}-a}{2a}=\frac{1}{2}a^{2a-1}-\frac{1}{2}
a więc jeśli mamy połowę z liczby nieparzystej i odejmiemy od tego \frac{1}{2} to otrzymamy zawsze liczbę całkowitą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Mniej więcej tak, choć dla a nieparzystego ładniej by to wyglądało jakby to rozpisac na modulo niż napisanie "połowa liczby nieparzystej" :] Ale idea mniej więcej taka właśnie.

No i to co napisałeś dla a parzystego, to dla parzystego ale róznego od a = 2 (bo dla a=2 liczba n = anie jest złożona) No i zauważyłem błąd u siebie, tzn własnie jeżeli chodzi o ten przypadek szczególny, gdy a = 2, trzeba znalezć taka liczbę złożoną n żeby zachodziła podzielność n| 2^n - 2 i sprawdziłem kilka pocz. liczb i dalej nie chce mi się sprawdzać :) niech ktoś poszuka jak jemu się nudzi :]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 3393
z tego co widzę to zachodzi to tylko dla liczb pierwszych ;) wie ktoś w jaki sposób to wytłumaczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 17:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Małe twierdzenie Fermata
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 17:43 
Użytkownik

Posty: 175
Lokalizacja: Łapy/Białystok
nie no, jeżeli taka jest treśc zadania, to musi zachodzic dla jakiejś złożonej. Bo to ze dla pierwszych zachodzi to chyba jest jasne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność liczb - zadanie 5  Rachet  1
 Podzielność liczb  alexandra  1
 Podzielnosc liczb  szczepanik89  8
 Podzielność liczb - zadanie 11  Gucia123  7
 Podzielność liczb - zadanie 8  paula.  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl