szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2015, o 16:23 
Użytkownik

Posty: 5308
Lokalizacja: Kraków
Własności i definicje
Iloczyn nieskończony to wyrażenie (1+a_1)( 1+a_2) ... (1+a_n)... gdzie a_j \neq 0 dla j=1, 2, 3,.... (*)
Jeśli (1+a_1)( 1+a_2) ... (1+a_n)= I_n = \prod_{j=1}^n (1+ a_j) to

I = \prod_{n=1}^{\infty} (1+ a_n) = \lim_{n \to \infty} I_n

(*) Można też zakładać, iż a_j \neq -1 (Jeśli a_j=-1 dla jakiegoś j to I=0).
I_n jest n tym iloczynem cząstkowym.

Jeśli wartość iloczynu nieskończonego I istnieje i jest różna od zera i od \pm \infty, to taki iloczyn nazywa się zbieżnym. W innych sytuacjach iloczyn nieskończony jest rozbieżny; np. rozbieżnym do zera jest:
\prod_{j=2}^{\infty} (1 - \frac{1}{j})  = \lim_{n \to \infty} \prod_{j=2}^n (1 - \frac{1}{j}) = \lim_{n \to \infty}  \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}  \cdot …. \frac{n-1}{n}   = \lim_{n \to \infty}   \frac{1}{n}=0.

Jeśli iloczyn \prod_{n=1}^{\infty} (1+ a_n) jest zbieżnym, to \lim a_n =0 - ale nie odwrotnie. (analogia z szeregami).
Jeśli istnieje n_0 takie, że dla a_n >0 dla n >n_0 to zbieżność iloczynu \prod_{n=1}^{\infty} (1+ a_n) jest równoważna zbieżności szeregu \sum_{n=1}^{\infty} a_n.

Sumy a iloczyny
a_m = a_0  + (a_1 - a_0) + ... + (a_m - a_{m - 1}) (ciąg a szereg)
s_n = \sum_{j=0}^{n} a_j = s_0 \frac{s_1}{s_0}... \frac{s_n}{s_{n - 1}}=s_0 \prod_{j=0}^{n-1}  (1 + \frac{a_{j+1}}{a_0 + ... +a_j})
o ile s_j \neq 0 (szereg a iloczyn)
np. \sum_{n=0}^{\infty}   \frac{1}{2^n} i \prod_{n=2}^{\infty}\frac{2^n -1}{2^n -2} są równe.


Przykłady
i) \frac{2}{\pi}= \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} } \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} }  } …  \approx 0,63 (F. Vieta *)
ii) \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2 -1} = \frac{\pi}{2}
iii) (1- \frac{1}{4})(1- \frac{1}{9}) (1- \frac{1}{16}) ... = \frac{1}{2} (J. Wallis, 1656 r.)
(*) gdyż n ty składnik iloczynu to \cos (\frac{\pi}{2^{n+1}})


Zadania (Uwagi: Nie przedstawiać tu rozwiązań )
1. Podać przykład iloczynu \prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n) który jest zbieżny, ale iloczyn \prod_{n=1}^{\infty} (1+|a_n|) nie jest zbieżny
tj. warunkowo zbieżnego
2. Udowodnić, że (1+ \frac{1}{2})(1+  \frac{1}{4}) (1+ \frac{1}{8}) ... =  2
3. Jaki szereg jest równy \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{2}{n(n+1)})
4. Wskazać ilustracje geometryczną przykładu i) (wzór Viety)
5. Udowodnić, że \prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{7}{9} \cdot \frac{26}{28} \cdot  \frac{63}{65} \cdot ... = \frac{2}{3}


Ukryta treść:    
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 iloczyny nieskończone  Czeczot  9
 [Systemy liczbowe] Nieskończone rozwinięcie ułamka  kaki2308  2
 Wyznaczyć iloczyny i sumy rodziny zbiorów  gsrmeen  7
 zamiana wielomianów na iloczyny  LadyM  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com