szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 278
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p^{2}-1 jest liczbą podzielną przez 24.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2007, o 16:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Przedstawmy to w takiej postaci: p^2-1=(p-1)\cdot(p+1)

Wiemy o tym, że każda liczba pierwsza jest liczbą nieparzystą. Z tego wynika, że liczba o 1 od niej mniejsza, jak i liczba o 1 od niej większa to liczby parzyste, co więcej, to dwie kolejne liczby parzyste. Wśród dwóch kolejnych liczb parzystych na pewno jest jedna podzielna przez 4 i druga podzielna przez 2, czyli (p-1)(p+1) jest podzielne przez 8.

Poza tym wiemy, że liczba pierwsza dzieli się tylko przez samą siebie i jedynkę, czyli na pewno nie dzieli się przez 3. Rozważmy teraz 2 przypadki:
a) \ p=3k+1, \ k\in \mathbb{Z} \\ p^2-1=(p-1)\cdot(p+1)=(3k+1-1)\cdot(3k+1+1)=3k \cdot (3k+2) \\ b) \ p=3k+2, \ k \in \mathbb{Z} \\ p^2-1=(p-1)\cdot(p+1)=(3k-1-1)\cdot(3k-1+1)=(3k-2) \cdot 3k
Jak widzimy w obu przypadkach udowodniliśmy, że ta liczba (p-1)(p+1) jest podzielna przez 3.

A skoro liczba jest podzielna przez 3 i 8, to jest też podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli 24, co kończy dowód potwierdzając tezę zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność przez 24 - zadanie 2  _Mithrandir  4
 podzielność przez 24 - zadanie 6  infeq  3
 Podzielność przez 24  Filip46  6
 podzielność przez 24 - zadanie 4  Bucu  1
 Podzielność przez 24 - zadanie 9  push  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl