szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2015, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Warszawa
a, b, c - długości boków dowolnego trójkąta

\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{b + c - a} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2015, o 20:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10228
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że dla dodatnich liczb x,y mamy \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \ge  \frac{4}{x+y}. Wynika to z nierówności między średnią arytmetyczną a średnią harmoniczną lub zwijania na pałę.
Dodaj stronami trzy takie nierówności dla x= 2(a+b-c), y= 2(a+c-b) etc. (chyba widać schemaD).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2015, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Warszawa
Możesz dokładnie powiedzieć o jaką nierówność chodzi bo nie do końca rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2015, o 22:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10228
Lokalizacja: Wrocław
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... %9Brednich
BTW polecam wejść też na stronę dyskusji artykułu, bo jest tam piękna uwaga językowa.

Ale można też bez tego: powiedzmy, że x>0 i y>0. Wtedy \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \ge  \frac{4}{x+y} \Leftrightarrow 2+ \frac{y}{x}+ \frac{x}{y} \ge 4 \Leftrightarrow \left( \sqrt{ \frac{x}{y} }- \sqrt{ \frac{y}{x} }   \right)^{2} \ge 0, a to jest oczywiste.

No i w tej nierówności:
\frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \ge  \frac{4}{x+y}
(1.)podstaw raz x=2(a+b-c), y=2(a-b+c) i napisz, co otrzymujesz,
potem (2.) sobie zrób druga nierówność: podstaw x=2(a+b-c), y=2(-a+b+c) i też napisz, co dostajesz, a na koniec napisz sobie nierówność
(3.) podstawiając w \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} \ge  \frac{4}{x+y} za x np. 2(a-b+c), za y zaś 2(-a+b+c)
Dodaj (1.), (2.) i (3.) stronami. Co otrzymujesz?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż, że zachodzi nierówność - zadanie 2  qbuh  4
 wykaż, że zachodzi nierówność - zadanie 3  Tom555  3
 Wykaż, ze zachodzi nierownosc  R37  1
 wykaż, że zachodzi nierówność - zadanie 6  Farrel  1
 Wykaż, że zachodzi nierówność - zadanie 9  El_Konrad  13
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl