szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 lis 2015, o 11:26 
Użytkownik

Posty: 241
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność:

a^{2}+ab+ b^{2} \ge 0

Doszedłem tylko do:

(a+b) ^{2}-ab \ge 0

Ale to chyba w złą stronę poszedłem. :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2015, o 11:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5385
Może tak:
a^2+ab+b^2=  \frac{1}{2} \left( 2a^2+2ab+2b^2\right) =\frac{1}{2} \left( a^2+(a+b)^2+b^2\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2015, o 12:06 
Moderator

Posty: 5394
Lokalizacja: Toruń
Ewentualnie - rozpatrz trójmian kwadratowy:
f(x) = x^2 + bx + b^2
Jego wyróżnik to \Delta = -3b^2 \leq 0; ponadto f(b) = 3b^2 \geq 0. Zatem dla wszystkich x mamy f(x) \geq 0, w szczególności dla x=a mamy
f(a) = a^2 + ab + b^2 \geq 0.

-- 8 lis 2015, o 11:08 --

I jeszcze inny sposób:
a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2a \left(\frac{1}{2}b\right) + \left( \frac{1}{2} b\right)^2 + \frac{3}{4} b^2 = \left(a + \frac{1}{2}b \right)^2 + \frac{3}{4} b^2 \geq 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2015, o 16:02 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Może takie coś : (a+b)^{2}  \ge a^2+ab+b^2  \ge (a-b)^2  \ge 0. Wydaje mi się że też poprawne :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2015, o 16:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
Niestety nie. Pierwsze szacowanie nic nie wnosi do rozwiązania, a drugie korzysta z tego, że 3ab \ge 0, co nie zachodzi np. dla a=1, b=-1 (to samo można zarzucić zresztą pierwszemu szacowaniu).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2015, o 16:14 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
O matko , faktycznie. Czułem że coś tu nie gra.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 działania na liczbach rzeczywistych  Anonymous  1
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych  Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych  jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych  Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa  Tomasz B  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl