szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 19:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Skierniewice
Zad1
wykaz ze liczba
2^1 + 2 ^2 + 2^3 +... 2^{88} jest podzielna przez 5

Zad2
wykaz ze liczba
2 \cdot 9^{100} - 9^{99} - 9^{98} jest podzielna przez 19

Proszze o szczegolowa analize nie rozumiem tego typu zadan;/;/ eh

[Radzę zapoznać się z LaTeX-em - Tristan]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 204
Lokalizacja: Siedlce
2+2^2+2^3+ \ldots +2^{88} \equiv 22(2+4+3+1) \equiv 22\cdot10 \equiv 0 \ (mod \ 5)

2\cdot9^{100}-9^{99}-9^{98}=9^{98}(2\cdot9^2-9-1)=9^{98}\cdot152=9^{98}\cdot8\cdot19
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 19:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 245
Lokalizacja: Skierniewice
o co chodzi z tym 1 wez jakos to wyjasnij... plis
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 204
Lokalizacja: Siedlce
Korzystam z własności kongruencji.
Reszta z dzielenia przez 5 liczb postaci 2^{4k}, \ 2^{4k+1}, \ 2^{4k+2}, \ 2^{4k+3} dla k \in \mathbb{N} \cup \{0\} wynosi 1, \ 2, \ 4, \ 3 odpowiednio. Ponieważ 88 \div 4 =22, zatem suma reszt wynosi 220, a ta liczba dzieli się przez 5 bez reszty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 20:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Jeśli ktoś lubi indukcję, to może na pierwsze zadanie spojrzeć z bardziej ogólnego punktu widzenia. Widzimy, że ostatnią potęgą jest "88". Jest to oczywiście wielokrotność czwórki. Można więc sobie postawić pytanie, czy zachodzić podzielność 5| 2^1+2^2+...+2^{4n}, n \in \mathbb{N}. Podzielność tę łatwo udowodnić korzystając właśnie z indukcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 22:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Tristan napisał(a):
Podzielność tę łatwo udowodnić korzystając właśnie z indukcji.

lub korzystając z wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego oraz z faktu iż:
2^{4n}\equiv 1 \pmod{5}
dla dowolnego n\in \mathbb{N}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 22:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
No ja właśnie chciałem pokazać jak to zrobić bez kongruencji ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 22:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1307
Lokalizacja: Bełchatów
Mozna tez zauwazyc, ze jest to suma n poczatkowych wyrazow ciagu geomatrycznego i policzyc sume. S_{88}=2(2^{87}-1). Kolejne potęgi dwójki mają cyfre jedności kolejno równą 4,8,6,2. 87 \ mod \ 4=3 gdzie mod to reszta z dzielenia liczb całkowitych (nie wiem jak to się w matematyce zapisuje). Z tego wynika cyfrą jedności liczby 2^{87} jest 6, zatem cyfrą jedności liczby S_{88} jest 0, więc jest podzielna przez 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lip 2007, o 23:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
No ja właśnie o tym napisałem powyżej... tylko 'drobna' uwaga :arrow: tam w nawiasie 2^{88} - 1 bo inaczej to wyjdzie suma dodatnich składników mniejsza od największego składnika... i z tymi resztami też trochę Ci się pomyliło, bo:
2^{4k + 3} \equiv 8 \pmod{10}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność liczb - zadanie 5  Rachet  1
 podzielność liczb - zadanie 2  martynka148  3
 Podzielność liczb - zadanie 11  Gucia123  7
 Podzielność liczb - zadanie 8  paula.  2
 Podzielność liczb - zadanie 4  Asiuk  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl