szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 18:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Mam udowodnić, że nie istnieje funkcja ciągła spełniają równanie f(f(x))=-x.
f:\RR  \rightarrow \RR.

Zaczęłam od tego, że pokazałam, ze jest to funkcja nieparzysta. Następnie pokazałam, że nie jest to ani funkcja rosnąca ani maleją w całym zbiorze \RR. Stała oczywiście też nie jest.

Jak teraz wypada sformułować wniosek, że ta funkcja nie istnieje? Jak to się ma do tego, co udało mi sie juz pokazać?

Czy monotoniczność jest warunkiem koniecznym ciągłości?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 18:57 
Użytkownik

Posty: 414
Lokalizacja: Łódź
Cytuj:

Czy monotoniczność jest warunkiem koniecznym ciągłości?


Gdzieżby? A co powiesz o np. funkcji kwadratowej?

-- 14 lis 2015, o 20:05 --
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Jest nieparzysta.

Robię to tak:
Obkładam funkcją f początkowe równanie i dostaję: f(f(f(x)))= f(-x)  \Rightarrow -f(x)=f(-x)

Oczywiście f(-x)=-x  \Leftrightarrow -f(x)=f(-x)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:13 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Najpierw udowodnij, że ta funkcja musi być różnowartościowa, co dalej z warunkami zaimplikuje monotoniczność, a z niej dokończysz dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:15 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Różnowartościowości nie trzeba nawet.

A nie, jednak trzeba.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 414
Lokalizacja: Łódź
Poszukujaca napisał(a):
Jest nieparzysta.

Robię to tak:
Obkładam funkcją f początkowe równanie i dostaję: f(f(f(x)))= f(-x)  \Rightarrow -f(x)=f(-x)

Oczywiście f(-x)=-x  \Leftrightarrow -f(x)=f(-x)


Twierdzisz, że funkcja jest identycznością wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieparzysta? (Pytanie odnosi się do ostatniej linijki.)

PS. A odnośnie do funkcji kwadratowej, to żadna nie jest nieparzysta, niektóre są zaś parzyste. I nie o to chodziło. Przecież zacytowałem Twoje pytanie przed moim pytaniem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Dualny91, nie. Chodziło mi o to f(x)=-f(-x)  \Leftrightarrow -f(x)=f(-x).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 414
Lokalizacja: Łódź
Zatem akceptuję dowód nieparzystości :D
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 22:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Różnowartościwość:

Biorę dowolne x_{1}, x_{2} \in \RR. Zakładam, że f(x_{1})= f(x_{2}).
f(x_{1})= f(x_{2})  \Leftrightarrow f( f(x_{1}))= f(f(x_{2}) )  \Leftrightarrow -x_{1}=-x_{2}  \Leftrightarrow x_{1}=x_{2}

Okej?

W sumie to nie wiem co dalej. Pokazałam, że jest nieparzysta i różnowartościowa. Co z tą monotonicznoscią? Skoro wcześniej udało mi się pokazać, że jej nie ma.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Funkcja ciągła i niemonotoniczna nie może być różnowartościowa. No spróbuj narysować taką.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 23:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Ok, rozumiem. Faktycznie chyba nie znajdziemy takiego przykładu.

W takim razie proszę o sprawdzenie, gdzie jest błąd w moim rozumowaniu, przy wykazaniu, że funkcja nie jest ani rosnąca ani malejąca.

1) Nie jest rosnąca.
Zakładam, że funkcja jest rosnąca. Wtedy \forall_{x_{1},x_{2} \in R }: x_{1}<x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}).

Biorę f(f(x_{1})) < f(f(x_{2}))  \Rightarrow -x_{1}< -x_{2}  \Rightarrow x_{1} > x_{2}
Sprzeczność.

2) Nie jest malejąca.
Zakładam, że funkcja jest malejąca. Wtedy \forall_{x_{1},x_{2} \in R }: x_{1}<x_{2}  \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}).

Biorę f(f(x_{1})) < f(f(x_{2}))  \Rightarrow -x_{1}< -x_{2}  \Rightarrow x_{1} > x_{2}
Sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 02:07 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Tak, ten tok rozumowania prowadzi do sprzeczności i dowodzi tezy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 09:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Jest twierdzenie, że z monotoniczności funkcji wynika jej różnowartościowość. Ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Jeśli więc pokazałam, że funkcja nie jest monotoniczna, a następnie, że jest różnowartościowa, to z fałszu wynika prawda, więc w sumie to nie ma sprzeczności..

Czy jest jakieś inne twierdzenie np. z ciągłością, które da mi sprzeczność?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 09:43 
Użytkownik

Posty: 13581
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jezeli jest różnowartościowa i ciągła na odcinku, to jest monotoniczna
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 10:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
a4karo, to twierdzenie załatwi sprawę.

Dziękuje wszystkim za pomoc! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl