szukanie zaawansowane
 [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Rozwiązać f(f(x)-y))=f(x) + f(f(y)-f(-x))+x.

Gdy podstawiam x=0, y=0 otrzymuję f(f(0))=2 f(0).

Ale na razie nie potrafię znaleźć innego trafnego podstawienia, ktore ostatecznie doprowadziłoby mnie do rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Zróżniczkowałem obustronnie po x

Wyszło, że \left(\frac{ \partial f}{\partial x}\right)^{2} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2} + \frac{\partial f}{\partial x} + 1

Z czego by wynikało, że pasuje funkcja liniowa postaci f(x)=-x+b

Podstawiając to do wyjściowego równania wychodzi b=0.

Mogą istnieć też inne rozwiązania (jakieś brzydkie nieróżniczkowalne).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
A jak obliczyłeś f'(f(x)-y) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Wzór na pochodną funkcji złożonej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 20:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10829
Lokalizacja: Wrocław
Podstawiając y=-x, mamy
f(f(x)+x)=f(x)+x
Może to coś da? Aha, u Ciebie, Poszukujaca, powinno chyba być f(f(0))=f(0), a nie 2f(0).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Hmm, no ale identyczność będzie w takim razie dobra tylko na prostej y=-x ?
A nie wszędzie.
Minus identyczność pasuje wszędzie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 22:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
jarek4700, jak różniczukę wychodzi mi tak:

f'(f(x)-y) f'(x) =f'(x) f'(f(y)-f(-x)) \left( f'(y)-f'(-x)\right)

Skąd się wzięło \left(\frac{ \partial f}{\partial x}\right)^{2}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 954
Lokalizacja: Mazowsze
Coś się zaplątałem, ale wynik wyszedł dobry. Pozostaje zgadnąć, że funkcja jest liniowa f(t)=at+b i obliczyć współczynniki a,b.

Wychodzi minus identyczność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 lis 2015, o 23:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
jarek4700, czy możesz wyjaśnić dlaczego wyszło Ci takie rownanie z pochodnymi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 01:00 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Różniczkując, tracimy potencjalnie mnóstwo innych rozwiązań, bo zakładamy, że funkcja ma pochodną.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 lis 2015, o 01:55 
Moderator

Posty: 1937
Lokalizacja: Trzebiatów
Na początek dowodzimy, że f\left( 0\right) = 0, pózniej kilka prostych podstawień ( y = f\left( x\right), x = 0) daje nam odpowiedz
Ukryta treść:    
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 10:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Podsumowując:

1) podstawienie x=0, y=0
f(f(0))=f(0)+f(f(0)-f(0))+0=f(0)

2) podstawienie x=-y
f(f(-y)-y)=f(-y)+f(f(y)-f(y))-y=f(-y)-y
Czy z tego wynika, że \forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x) ?

3) podstawienie y=f(x). Przez moment zaczęłam się zastanawiać, czy to podstawienie jest właściwe. x, y są zmiennymi różnymi od siebie, zatem f(x) też jest zmeinną. Podstawiając za y =f(x) tak jakby zmieniamy nazwę (oznaczenie) zmiennej., wiec dlatego możemy tak zrobić. Bardzo proszę o komentarz, czy dobrze myślę.
Poza tym podstawiamy x=0
f(y-y)=y+ f(f(y)-f(0))+0
Teraz wiemy, że f(f(y))=f(y) więc f(f(y)-f(0))=f(y)-f(0)
Ponadto f(0)=0 o jak do powyższego równania wstawię y= 0, to otrzymam, że funkcja przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Z podstawienia 3 otrzymuje więc: f(0)=y+f(f(y))  \Rightarrow f(y)=-y

Bardzo proszę o sprawdzenie i skomentowanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 11:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10829
Lokalizacja: Wrocław
A ja mam takie trochę offtopowe pytanie (choć nawiązuje to do jednej z Twoich wątpliwości, Poszukujaca): jak uzasadnić poprawność podstawienia y=f(x)? Czy wykonując to podstawienie, nie ograniczamy się do surjekcji na \RR? Bo przecież teoretycznie mogłoby zdarzyć się tak, że zbiór wartości f jest podzbiorem właściwym \RR i wtedy nie dla każdego y\in \RR znajdziemy taki x, że f(x)=y. Czyli tak jakby ucinamy pewne potencjalne rozwiązania niebędące surjekcjami, które moglibyśmy otrzymać (choć możliwe, ze takie nie istnieją, tylko nie widzę czemu).
Jeżeli piszę jakieś straszne głupoty, to proszę o wyjaśnienie, a nie kpinę, nie każdy urodził się matematykiem.

Aha, mogę za to odpowiedzieć na to:
Cytuj:
2) podstawienie x=-y
f(f(-y)-y)=f(-y)+f(f(y)-f(y))-y=f(-y)-y
Czy z tego wynika, że\forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x) ?

Absolutnie nie i nie wiem, jak przebiega Twoje rozumowanie do takich wniosków prowadzące. Funkcja f(x)=-x, która jak już wspomniano spełnia to równanie, nie spełnia postulatu
\forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 lis 2015, o 12:07 
Moderator

Posty: 1937
Lokalizacja: Trzebiatów
Wydaje mi się Premislav, że odpowiedz na Twoje pytanie powinna znalezć się w treści zadania, która obecnie nie jest pełna i zakłada się po kryjomu pewne kwestie.

Podstawiając x = 0 mamy, że f\left( -y\right) = f\left( f\left( y\right) \right).
Jeszcze nie widzę dowodu, dlaczego f\left( 0\right) = 0.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lis 2015, o 12:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Premislav napisał(a):
jak uzasadnić poprawność podstawienia y=f(x)? Czy wykonując to podstawienie, nie ograniczamy się do surjekcji na \RR? Bo przecież teoretycznie mogłoby zdarzyć się tak, że zbiór wartości f jest podzbiorem właściwym \RR i wtedy nie dla każdego y\in \RR znajdziemy taki x, że f(x)=y. Czyli tak jakby ucinamy pewne potencjalne rozwiązania niebędące surjekcjami, które moglibyśmy otrzymać (choć możliwe, ze takie nie istnieją, tylko nie widzę czemu).


Podobają mi się te przemyślenia.

Premislav napisał(a):
Aha, mogę za to odpowiedzieć na to:
Cytuj:
2) podstawienie x=-y
f(f(-y)-y)=f(-y)+f(f(y)-f(y))-y=f(-y)-y
Czy z tego wynika, że\forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x) ?

Absolutnie nie i nie wiem, jak przebiega Twoje rozumowanie do takich wniosków prowadzące. Funkcja f(x)=-x, która jak już wspomniano spełnia to równanie, nie spełnia postulatu
\forall_{x \in \RR }: f(f(x))=f(x)


Dlaczego?

Jak udowodnić, że f(0)=0 ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl