szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lis 2015, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa
Witam,

mam takie proste rownanie rekurencyjne:
a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}

Metoda z wykorzystaniem rownan charakterystycznych dochodze do wzoru:
a_{n}= - 2^{n} +  3^{n}
Co jest prawidlowym rozwiazaniem tego rownania.

Niestety przy rozwiazywaniu tego rownania funkcjami tworzacymi cos sie nie zgadza...

Dochodze do funkcji tworzacej w takiej postaci:
f(x) = \frac{x}{(x- \frac{1}{3})(x- \frac{1}{2})  }
Przeksztalcam:
f(x) = \frac{-2}{x- \frac{1}{3} } +  \frac{3}{x- \frac{1}{2} } =  \frac{6}{1-3x}  -  \frac{6}{1-2x}
Po wrzuceniu tego w szeregi:
\sum_{n=0}^{ \infty } 6 (3x)^{n} +  \sum_{n=0}^{ \infty }  -6(2x)^{n}= 
6 \sum_{n=0}^{ \infty }  [3^{n} -  2^{n}] \cdot  x^{n}

Po zrobieniu z tego wzoru ogolnego otrzymuje:
a_{n}= 6(3^{n}- 2^{n} )
Co zrobic z ta 6? Gdzie robie blad?

Z gory dziekuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2015, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie podałeś warunków początkowych, ale wnioskując po rozwiązaniu 3^n-2^n są to a_0=0, a_1=1. A w takim razie funkcją tworzącą ciągu jest:
f(x)= \frac{1}{1-5x+6x^2}

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lis 2015, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa
Tak, przepraszam, zapomnialem dodac warunkow:
a_{0} =0, a_{1} = 1, n \ge 2

W takim razie czegos nie rozumiem przy obliczaniu funkcji tworzacej, dla n \ge 2 dodaje 2 pierwsze wyraz do szeregu:

0 \cdot  x^{0}  + 1 \cdot  x^{1} +  \sum_{n=2}^{ \infty} (5 a_{n-1} -6 a_{n-2}) x^{n} =
 x +  5\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-1}x^{n}  -6  \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2} x^{n}
 =  x +  5x\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}x^{n}  -6  x^{2}  \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n} x^{n}
Z tego mam:
f(x) = x + 5x \cdot [f(x) -  a_{0} ] -6 x^{2}  \cdot f(x)
f(x)  - 5x \cdot f(x) +6 x^{2}  \cdot f(x)= x
f(x)(1  - 5x  +6 x^{2} )= x
f(x)= \frac{x}{1  - 5x  +6 x^{2}}

Gdzie ma ten x zginac? U mnie w liczniku zostaje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2015, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rzeczywiście, masz rację, w liczniku powinien zostać x. W takim razie Twój błąd polegał na złym rozłożeniu mianownika.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lis 2015, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa
Faktycznie, policzylem to raz jeszcze i teraz wszystko sie zgadza.

Dziekuje za pomoc
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 m dyskretna - Ile jest całkowitych rozwiązań równania .  torbol  1
 Kombinatoryka (rozwiąż równania)  allexx  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl