Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

Strona 1 z 1

[ Posty: 5 ]

Autor

Wiadomość

janusz2000 Offline

Tytuł: Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

Napisane: 16 lis 2015, o 20:18

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa

Witam,

mam takie proste rownanie rekurencyjne:
$a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}$

Metoda z wykorzystaniem rownan charakterystycznych dochodze do wzoru:
$a_{n}= - 2^{n} + 3^{n}$
Co jest prawidlowym rozwiazaniem tego rownania.

Niestety przy rozwiazywaniu tego rownania funkcjami tworzacymi cos sie nie zgadza...

Dochodze do funkcji tworzacej w takiej postaci:
$f(x) = \frac{x}{(x- \frac{1}{3})(x- \frac{1}{2}) }$
Przeksztalcam:
$f(x) = \frac{-2}{x- \frac{1}{3} } + \frac{3}{x- \frac{1}{2} } = \frac{6}{1-3x} - \frac{6}{1-2x}$
Po wrzuceniu tego w szeregi:
$\sum_{n=0}^{ \infty } 6 (3x)^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty } -6(2x)^{n}= 6 \sum_{n=0}^{ \infty } [3^{n} - 2^{n}] \cdot x^{n}$

Po zrobieniu z tego wzoru ogolnego otrzymuje:
$a_{n}= 6(3^{n}- 2^{n} )$
Co zrobic z ta 6? Gdzie robie blad?

Z gory dziekuje

Góra

Qń

Tytuł: Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

Napisane: 16 lis 2015, o 20:36

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz

Nie podałeś warunków początkowych, ale wnioskując po rozwiązaniu $3^n-2^n$ są to $a_0=0, a_1=1$ . A w takim razie funkcją tworzącą ciągu jest:
$f(x)= \frac{1}{1-5x+6x^2}$

Q.

Góra

janusz2000 Offline

Tytuł: Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

Napisane: 16 lis 2015, o 20:55

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa

Tak, przepraszam, zapomnialem dodac warunkow:
$a_{0} =0, a_{1} = 1, n \ge 2$

W takim razie czegos nie rozumiem przy obliczaniu funkcji tworzacej, dla $n \ge 2$ dodaje 2 pierwsze wyraz do szeregu:

$0 \cdot x^{0} + 1 \cdot x^{1} + \sum_{n=2}^{ \infty} (5 a_{n-1} -6 a_{n-2}) x^{n} = x + 5\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-1}x^{n} -6 \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2} x^{n} = x + 5x\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}x^{n} -6 x^{2} \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n} x^{n}$
Z tego mam:
$f(x) = x + 5x \cdot [f(x) - a_{0} ] -6 x^{2} \cdot f(x)$
$f(x) - 5x \cdot f(x) +6 x^{2} \cdot f(x)= x$
$f(x)(1 - 5x +6 x^{2} )= x$
$f(x)= \frac{x}{1 - 5x +6 x^{2}}$

Gdzie ma ten x zginac? U mnie w liczniku zostaje.

Góra

Qń

Tytuł: Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

Napisane: 16 lis 2015, o 21:04

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz

Rzeczywiście, masz rację, w liczniku powinien zostać $x$ . W takim razie Twój błąd polegał na złym rozłożeniu mianownika.

Q.

Góra

janusz2000 Offline

Tytuł: Rozwiazywanie rownania rekurencyjnego - funkcja tworzaca

Napisane: 16 lis 2015, o 21:24

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa

Faktycznie, policzylem to raz jeszcze i teraz wszystko sie zgadza.

Dziekuje za pomoc

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 5 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona	birdy1986	7
zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny	eoor	1
Mały problem z funkcją tworzącą	kogutto	1
m dyskretna - Ile jest całkowitych rozwiązań równania .	torbol	1
Kombinatoryka (rozwiąż równania)	allexx	3

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]