szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lis 2015, o 03:00 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
czy ktoś może zna dowód tego, że średnia potęgowa rzędu dążącego do 0 zbiega do średniej geometrycznej? chodzi mi o jaśniejsze wytłumaczenie niż na wikipedii :) i dlaczego średnia geometryczna jest potęgową rzędu 0? jakoś tego nie widzę
pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2015, o 07:25 
Użytkownik

Posty: 12851
Lokalizacja: Bydgoszcz
Standardowo używa sie reguły de l'Hospitala (rachunek nie jest trudny).
Ładny dowód pokazał Schaumberger (Power mean for zero exponent, Math Magazine, Vol 69(3) 1996).
Dowód jest dla trzech zmiennych, ale łatwo uougólnia sie na ich dowolna ilość:
Korzystamy z nierówności G<A dla średnich ważonych:

\frac{a^r}{a^r+b^r+c^r}+ \frac{b^r}{a^r+b^r+c^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r+c^r}=1

Odwróćmy "do góry nogami" nierównośc AG:

\frac{1}{(a^rb^rc^r)^{1/3}}\geq \frac{3}{a^r+b^r+c^r}=\frac{a^r\frac{1}{a^r}+b^r\frac{1}{b^r}+c^r\frac{1}{c^r}}{a^r+b^r+c^r}\geq \left(\frac{1}{a^r}\right)^{\frac{a^r}{a^r+b^r+c^r}}\left(\frac{1}{b^r}\right)^{\frac{b^r}{a^r+b^r+c^r}}\left(\frac{1}{c^r}\right)^{\frac{c^r}{a^r+b^r+c^r}}

co po odwróceniu i wyciągnięciu pierwiastka stopnia r daje
(abc)^{1/3}\leq \left(\frac{a^r+b^r+c^r}{3}\right)^{1/r}\leq \left(a^{a^r}b^{b^r}c^{c^r}\right)^{\frac{1}{a^r+b^r+c^r}}

Prawa strona dąży do (abc)^{1/3} i już
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lis 2015, o 10:01 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
dziękuję ogromnie!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadanie ze srednia  liu  3
 Średnia ważona  Rybek  7
 Średnia Geometryczna, do czego służy i kiedy jest stosowa  Dexter  5
 udowodnij, że srednia kwadratowa jest większa/równa od a  muller  4
 Dana średnia arytmetyczna dwóch liczb.  buahaha  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl