szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Jak obliczyć sumę \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}?

Oczekiwany wynik to
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Heil Michnik.
\sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2} - to powinno pomóc. Dalej kwadracimy i odpowiednio rozbijamy - choć może jest coś ładniejszego?
Aha, nie od rzeczy będzie przypomnieć znany fakt, iż \sum_{k=1}^{n}k^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - można to policzyć metodą zaburzeń.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 15:21 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Premislav napisał(a):
Heil Michnik.
\sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2} - to powinno pomóc. Dalej kwadracimy i odpowiednio rozbijamy - choć może jest coś ładniejszego?
Aha, nie od rzeczy będzie przypomnieć znany fakt, iż \sum_{k=1}^{n}k^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - można to policzyć metodą zaburzeń.

Hm. Jak wyglądałby początek z użyciem metody zaburzeń do obliczenia tej sumy?
Co do Michnika, to kojarzę tylko jednego, tego z gazety. :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 15:31 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
258562.htm
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ja bym zaproponował zacząć od zauważenia, że nasza suma to nic innego niż \frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j-i)^2 (bo dla i=j sumowane wyrażenie się zeruje, a dla j<i taka suma jest równa tej której szukamy). A w takim razie:
\frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j-i)^2=\frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j^2+i^2-2ij) = \\ = \frac 12 \left( \sum_{1\le i,j\le n}j^2 + \sum_{1\le i,j\le n}i^2 -2 \sum_{1\le i\le n}i \cdot \sum_{1\le j\le n}j\right) = \\ =\frac 12 \left( n\sum_{1\le j\le n}j^2 + n\sum_{1\le i\le n}i^2 -2 \sum_{1\le i\le n}i \cdot \sum_{1\le j\le n}j\right) = \\ =
n\sum_{1\le i\le n}i^2 - \left( \sum_{1\le i\le n}i\right)^2
i dalej łatwo.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Chapeau bas!
A to, co ja zaproponowałem, to jest jakiś badziew, wydawało mi się, że ładnie się skróci, a wcale nie jest ani krótko, ani przyjemnie, ani zgrabnie. Wybacz, że się odzywałem w tym temacie. Popatrzmy:
\sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j^{2}-2ij+i^{2})=\\= \sum_{j=2}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=2}^{n}j^{2}+ \sum_{j=2}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}=\\=\sum_{j=1}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=1}^{n}j^{2}+ \sum_{j=1}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}
Teraz tak: można policzyć również metodą zaburzeń \sum_{j=1}^{n}j^{3}:
\sum_{j=1}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=2}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j+1)^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j^{4}+4j^{3}+6j^{2}+4j+1). Po skróceniu i przerzuceniu tego, co trzeba na drugą stronę dostajemy:
\sum_{j=1}^{n-1}j^{3}= \frac{n^{4}-1-(n-1)(2n-1)n-2n(n-1)-(n-1)}{4}= \frac{n^{2}(n^{2}-2n+1)}{4}, a zatem \sum_{j=1}^{n}j^{3}=\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}
No i trzeba jeszcze wymnożyć ten syf: \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}= \frac{j^{3}}{3}- \frac{j^{2}}{2}- \frac{j}{6}, rozbić na odpowiednie sumy i uprościć - w porównaniu z propozycją Qnia jakaś kompletna obliczeniowa masakra. :|
Jak to krzyczał Peja "tak kończą frajerzy". Ukarałem się tymi obliczeniami, bo za dużo ostatnio rzucam kiepskich wskazówek, które prowadzą donikąd.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Premislav napisał(a):
Popatrzmy:
\sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}= \ldots
Twoje rachunki można trochę skrócić zauważając, że
\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}i^{2}

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: obliczenie sumy
PostNapisane: 29 lis 2015, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Premislav napisał(a):
Chapeau bas!
A to, co ja zaproponowałem, to jest jakiś badziew, wydawało mi się, że ładnie się skróci, a wcale nie jest ani krótko, ani przyjemnie, ani zgrabnie. Wybacz, że się odzywałem w tym temacie. Popatrzmy:
\sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j^{2}-2ij+i^{2})=\\= \sum_{j=2}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=2}^{n}j^{2}+ \sum_{j=2}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}=\\=\sum_{j=1}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=1}^{n}j^{2}+ \sum_{j=1}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}
Teraz tak: można policzyć również metodą zaburzeń \sum_{j=1}^{n}j^{3}:
\sum_{j=1}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=2}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j+1)^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j^{4}+4j^{3}+6j^{2}+4j+1). Po skróceniu i przerzuceniu tego, co trzeba na drugą stronę dostajemy:
\sum_{j=1}^{n-1}j^{3}= \frac{n^{4}-1-(n-1)(2n-1)n-2n(n-1)-(n-1)}{4}= \frac{n^{2}(n^{2}-2n+1)}{4}, a zatem \sum_{j=1}^{n}j^{3}=\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}
No i trzeba jeszcze wymnożyć ten syf: \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}= \frac{j^{3}}{3}- \frac{j^{2}}{2}- \frac{j}{6}, rozbić na odpowiednie sumy i uprościć - w porównaniu z propozycją Qnia jakaś kompletna obliczeniowa masakra. :|
Jak to krzyczał Peja "tak kończą frajerzy". Ukarałem się tymi obliczeniami, bo za dużo ostatnio rzucam kiepskich wskazówek, które prowadzą donikąd.

Jedna z Twoich wskazówek faktycznie prowadziła donikąd, ale ta z metodą zaburzeń nie. Dało się obliczyć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczenie sumy  gambiting  1
 obliczenie sumy - zadanie 2  BlueSky  0
 obliczenie sumy - zadanie 3  Karolina93  5
 obliczenie z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia  aniuch4  1
 Obliczenie wartości dwóch wyrażeń  swidi  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl