szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 lis 2015, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 333
Znajdź równanie uwikłane krzywej f(t)=( \frac{3t ^{4}+1 }{t ^{3} } , \frac{t ^{4}+3 }{t} ).
Przyjmijmy oznaczenia:

x=\frac{3t ^{4}+1 }{t ^{3} }

y=\frac{t ^{4}+3 }{t}

Nie wiem jak wyrugować t.
Liczę różnicę, podnoszę do kwadratu, dzielę... i nic.

Od czego zacząć?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 15:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6247
t^3x=3t^4+1 \\
ty=t^4+3
1)
Iloczyn tych równań to:
t^4xy=(3t^4+1 )(t^4+3) \\ 3(t^4)^2+(10-xy)t^4 +3=0 \\ (t^4)^2+ \frac{ (10-xy)}{3}t^4 +1=0 \\
(t^4+ \frac{10-xy}{6} )^2-(\frac{10-xy}{6} )^2+1=0
t^4+ \frac{10-xy}{6}= \pm  \sqrt{(\frac{10-xy}{6} )^2-1} \\
t^4= -\frac{10-xy}{6}-  \sqrt{(\frac{10-xy}{6} )^2-1} \vee t^4=- \frac{10-xy}{6}+  \sqrt{(\frac{10-xy}{6} )^2-1}
Równania (lub tylko jedno z nich) mają sens wyłącznie przy pewnych założeniach .

2)
Iloraz tych równań to:
t^2 \frac{x}{y} = \frac{3t^4+1}{t^4+3} \\ t^4 (\frac{x}{y})^2 = (\frac{3t^4+1}{t^4+3})^2

Wyliczone t^4 z 1) wstaw za wszystkie t^4 w ostatnim równaniu w 2) a pozbędziesz się zmiennej ,,t''.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 gru 2015, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 333
Dzięki!

A mam takie pytanie, czy gdyby było tak, że mam np takie równanka:

t^3x=3t^4+t \\ ty=t^4+3t

czy mogę obustronnie skrócić przez t?
A gdyby było tak z x lub y, to mogę skracać?

Mi się wydaje, że nie, bo się chyba "gubi" rozwiązanie...

Wie ktoś jak to jest, mylę się czy nie? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2015, o 23:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6247
Skracanie czyli upraszczanie zawsze warto wykonać. Najwyżej dostaniesz kilka łatwiejszych wyrażeń.
Tu skrócenie nic nie gubi gdyż i tak zero nie należy do dziedziny zmiennej ,,t''.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 13:47 
Użytkownik

Posty: 333
Ok, to tak jest, gdy zero nie należy do dziedziny, gdy mówimy o t.

Ale co w przypadku, gdy np mamy coś takiego:

(x(t),y(t))=( \frac{3at}{1+t ^{3} } , \frac{3at ^{2} }{1+t^{3}} )

dla t \in (-1,\infty)

Licząc iloraz dostajemy coś takiego \frac{y}{x}=t

i teraz x=\frac{3a \frac{y}{x}}{1+ (\frac{y}{x}) ^{3} }

mnożę prawą stronę przez jedynkę w postaci \frac{x^{3}}{x^{3}}

dostaję x= \frac{3ax ^{2}y }{x ^{3}+y ^{3}  }
zatem mamy:

x(x ^{3}+y ^{3} )=3ax ^{2}y

(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) I TU JEST TERAZ PYTANIE ;)

Czy mogę obie strony podzielić przez x????
x jest przecież funkcją t....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 14:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6247
Math_s napisał(a):
x(x ^{3}+y ^{3} )=3ax ^{2}y

(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) I TU JEST TERAZ PYTANIE ;)
Czy mogę obie strony podzielić przez x????
x jest przecież funkcją t....

Zawsze możesz zrobić tak:
x(x ^{3}+y ^{3} )-3ax ^{2}y=0
x \left[ (x ^{3}+y ^{3} )-3axy\right]=0
x=0 \  \vee  \  x ^{3}+y ^{3} -3axy=0\right]

Tu akurat możesz dzielić bo w zadanym przedziale zmiennej ,,t'' Twoje ,,x'' nigdy zerem nie będzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 Równanie kllepsydry.  Anonymous  3
 Wyznacz równanie krzywej jaką opisuje wierzchołek krzywe  apacz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl