szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 01:02 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Matykaland
Rozwiąż równanie rekurencyjne: x_{n+2}-6x_{n+1}+8x_n = -2 \cdot 4^n, \ x_0 = 1 \ x_1 = 6 Jak znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania metodą przewidywania? Kiedy próbuję wyliczyć współczynniki wychodzi mi że 0 = -2 Co należy zrobić w takim przypadku?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 01:06 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
W części niejednorodnej jest 4^n, a czwórka jest pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego. Tak więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci c\cdot n4^n

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 01:46 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Matykaland
A do czego to prowadzi? cn4^{n+2}-6cn^{n+1}+8cn4^n=-2\cdot 4^n  \Rightarrow 4^n(16cn-24cn+8cn) = -2 \cdot 4^n z tego dalej wynika że 0 = -2 Pewnie masz racje ale ja nie do końca jeszcze rozumiem o co tutaj chodzi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 01:50 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
takanator napisał(a):
cn4^{n+2}-6cn^{n+1}+8cn4^n=-2\cdot 4^n
Nie tak, tylko:
c(n+2)4^{n+2} - 6c(n+1)4^{n+1}+8cn4^n= -2\cdot 4^n

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 01:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3224
Lokalizacja: blisko
A nie lepiej to sumować za pomocą szeregów
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 02:05 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Matykaland
A rzeczywiście racja, dziękuje za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2015, o 02:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3224
Lokalizacja: blisko
\sum_{n=0}^{ \infty } x_{n+2}t^n-6 \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^n +8 \sum_{n=0}^{ \infty } x_{n}t^n=-2 \sum_{n=0}^{ \infty }4^nt^n

lub:

\frac{1}{t^2} \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+2}t^{n+2}- \frac{6}{t}\sum_{n=0}^{ \infty }x_{n+1}t^{n+1}+8 \sum_{n=0}^{ \infty }x_{n}t^{n}= \frac{2}{4t-1}

i podstawić:

S=\sum_{n=0}^{ \infty }x_{n}t^{n}

i ciągnąć to dalej

\frac{1}{t^2}(S-1-6t)- \frac{6}{t}(S-1)+8S=\frac{2}{4t-1}



S= \frac{2t^2+4t-1}{(4t-1)(8t^2-6t+1)}


lub:

S= \frac{11}{4} \frac{1}{1-4t}- \frac{1}{4} \frac{1}{(1-4t)^2}- \frac{3}{2} \frac{1}{1-2t}

O ile się gdzieś nie walnąłem!


Po rozwinięciu:

S= \frac{11}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }4^nt^n-\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{ \infty }4^n(1+n)t^n-\frac{3}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }2^nt^n

Lub prościej:

S= \sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{11}{4}4^n- \frac{1}{4}4^n- \frac{1}{4}n4^n- \frac{3}{2}2^n  \rightt)t^n

lub:

S= \sum_{n=0}^{ \infty }2^n\left( \frac{5}{2}2^n- \frac{1}{4}n2^n- \frac{3}{2}\right)t^n

co daje ostatecznie:

x_{n}=2^n\left( \frac{5}{2}2^n- \frac{1}{4}n2^n- \frac{3}{2}\right)

lub:

x_{n}= \frac{10 \cdot 2^n-2^nn-6}{4} \cdot 2^n


x_{0}=1, x_{1}=6


Co raczej chyba działa!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 równanie z silnią  rObO87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl