szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma potrójna
PostNapisane: 1 gru 2015, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 1021
To chyba nie dobry dział, bo dotyczy nieskończonych sum, więc proszę przenieść go, do odpowiedniego działu.

Chcę policzyć metodą sum wielokrotnych pewną sumę. W pewnym momencie się zacinam. O ile jak znam wzór na \sum_{k=0}^{n}k\cdot2^k to udaje mi się doliczyć do końca z poprawnym wynikiem. Jednak chciałbym otrzymać te wynik wprost z liczenia sumy (bez pomocniczego "przekształcenia"). Ale chyba tak się nie da?

\sum_{k=0}^{n}k^22^k=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k 2^k = \sum_{k=1}^{n}k\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}2^k=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{k}2^k=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\sum_{i=1}^{k}2^k

I co dalej?

O ile robiąc tak
\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}\sum_{i=1}^{k}2^k = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=j}^{n}k2^k

mamy powiedzmy łatwo, po pewnych przekształceniach potem. Tylko, że na tym etapie korzystam z wyliczonego wzoru na k2^k (też z sum podwójnych lub inną metodą). Po prostu ciekawi mnie, czy można bez pomocniczego obliczenia k2^k, pociągnąć sumę potrójną tak aby dojść do wyniku.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma potrójna
PostNapisane: 1 gru 2015, o 22:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3486
Lokalizacja: blisko
Spróbujmy to zacząć:

Weźmy sumę:

\sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}(kx^{k-1})' =(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'

z drugiej strony:


\sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}= \sum_{k=2}^{n}k^2x^{k-2}- \sum_{k=2}^{n}kx^{k-2}= \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}k^2x^{k}- \frac{1}{x^2}\sum_{k=2}^{n}kx^{k}=

= \frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]

Obliczmy teraz:

\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}

\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}= (\sum_{k=1}^{n}x^k)'= \left( \frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right)'= \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n=A

Dalej liczmy:

\sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=(\sum_{k=2}^{n}kx^{k-1})'=\left( \frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{nx-n-1}{(x-1)^2}x^n\right)'=

=\frac{2}{(1-x)^3}+ \frac{n(1-x)^2+2(1-x)(nx-n-1)}{(1-x)^4}x^n+ \frac{n(nx-n-1)}{(1-x)^2}x^{n-1}=B

Wynika stąd, że:

\sum_{k=1}^{n}kx^k=Ax

\sum_{k=2}^{n}k(k-1)x^{k-2}=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x \right]=B

lub przekształcając:

\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}+\sum_{k=1}^{n}kx^{k}-2x =Bx^2

lub:

\sum_{k=1}^{n}k^2x^k+Ax-2x=Bx^2

ostatecznie:

\sum_{k=1}^{n}k^2x^k=Bx^2-Ax+2x

podstawiając za x=2 mamy:


\sum_{k=1}^{n}k^22^k=4B-2A+4


Otrzymamy podstawiając zax=2

A=2^nn-2^n+1

B=n^22^{n-1}+2^{n+1}-3n2^{n-1}-2
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma potrójna
PostNapisane: 1 gru 2015, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 1021
Chyba kolega nie popatrzył, co autor miał na myśli. Znam bardzo dużo metod sumowania.

jezarek napisał(a):
Chcę policzyć metodą sum wielokrotnych pewną sumę. .


Metoda sum wielokrotnych, zamiana pojedynczej na wielokrotną. Nie metody różniczkowe, zaburzane czy inne
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma potrójna
PostNapisane: 1 gru 2015, o 22:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3486
Lokalizacja: blisko
Co ostatecznie daje:

\sum_{k=1}^{n}k^22^k=2^{n+1}(n^2-4n+5)-6

ale i głowy nie dam, że się gdzieś nie pomyliłem!

A co do Twojego sposobu z trzema sumami to jakoś nie widzę tego za bardzo choć może inni zauważą!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma n pierwszych wyrazów ciagu - zadanie 2  matemate  1
 Kowariancja. Suma dwóch zmiennych.  wielkidemonelo  3
 Suma - rozkład dwumianowy  matemix  0
 Suma elementów z silnią  szymonszymon  4
 suma podwójna - zadanie 8  Aniaaau  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl