szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 09:00 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Mamy zadaną równość:

\sqrt[3]{19-9 \sqrt{6} }=1- \sqrt{6}

Przejście z lewej na prawą wymaga użycia wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy.

Poszukuję ogólnego wzoru na takiego typu przejście:

\sqrt[3]{x- \sqrt{y} }= ???

gdzie x,y są liczbami wymiernymi dodatnimi

Jeśli nie wzoru to ewentualnie warunku, kiedy takie wyrażenie można uprościć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 09:11 
Użytkownik

Posty: 12582
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozumiem, że szukasz takich p,q, żeby prawa strona równałą się p+q\sqrt{y}?

Jeżeli tak, to podnieś wszystko do trzeciej potegi i przyrównaj współczynniki. Ale te współczynniki nie będą uniwersalne: będa funkcjami zmiennych x i y.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 11:13 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
\sqrt[3]{19 -9 \sqrt{6} }= \sqrt[3]{1-3 \sqrt{6}+18-6 \sqrt{6}  }= \sqrt[3]{(1- \sqrt{6} )^3}=1- \sqrt{6}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 12:15 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Bardziej zależy mi na gotowym wzorze niż na jego wyprowadzeniu. Przy wyprowadzeniu utonę w obliczeniach.

x- \sqrt{y} = (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

Zakładamy, że
a jest wymierne,
b jest niewymierne i jest pierwiastkiem stopnia drugiego pewnej liczby wymiernej

\begin{cases} x=a^{3}+3ab^2}\\ \sqrt{y} =b^{3}+3a^{2}b\end{cases}

\begin{cases} x=a^{3}+3ab^2}\\ y =b^6+6a^{2}b^{4}+9a^{4}b^{2}\end{cases}

Podstawiając wyrażenia z równania 1. do równania 2. otrzymamy:

\left( \frac{x-a^{3}}{3a} \right)^3+6\left(\frac{x-a^{3}}{3}\right)^2+9a^{4}\left(\frac{x-a^{3}}{3a} \right)-y=0

64a^{9}-48xa^{6}+(27y-15x^{2})a^{3}-x^{3}=0

Podstawienie: a^{3}=t

t^{3}- \frac{3}{4}xt^{2}- \frac{27y-15x^{2}}{64}t- \frac{x^{3}}{64}  =0

Podstawienie: t=p+ \frac{1}{4}x

Po tym podstawieniu wkradł się błąd w obliczeniach i niestety nie mogę go znaleźć :(

Jakby nie ten błąd to potem wzory Cardano i mam wynik
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 gru 2015, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Chodzi Ci mniej więcej o to (tutaj Rogal wyprowadził takie wzory dla st.2) : 3935.htm

Do czego chcesz tych wzorów używać ? Na pewno będą one skomplikowane co widać już powyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 gru 2015, o 08:17 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
No właśnie o takie podobne wzory mi chodzi, tylko o 1 stopień wyżej.
Udało mi się już je wyprowadzić.

p^{3}+ \frac{27}{64}(y-x^{2})p+ \frac{27}{256}x(y-x^{2})=0

Korzystam ze wzorów Cardano.

\Delta= \frac{27^{2}}{512^{2}}y(y-x^{2})^{2}

\Delta>0 czyli równanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty (który mnie interesuje) i 2 pierwiastki zespolone (które mnie nie interesują)

Po wszystkich wyliczeniach dostaję:

\sqrt[3]{x- \sqrt{y} } =a-b

a= \sqrt[3]{ \frac{3}{8} \sqrt[3]{ x^{2}-y }\left( \sqrt[3]{x+ \sqrt{y} }+ \sqrt[3]{x- \sqrt{y} }\right)  + \frac{1}{4}  x }

b= \sqrt{ \frac{x-a ^{3} }{3a} }

Wzór jest poprawny (sprawdzałem dla 2 przypadków na kalkulatorze).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 gru 2015, o 08:44 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Ciekawe, jeśli faktycznie podane wzory są poprawne to można by pomyśleć nad rozszerzeniem tematu z kompendium.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 gru 2015, o 08:56 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Tylko jeszcze może być problem z tą sumą sześcianów.

\left( \sqrt[3]{x+ \sqrt{y} }+ \sqrt[3]{x- \sqrt{y} }\right)

Jeśli wyrażenie\sqrt[3]{x- \sqrt{y} } da się uprościć to ta suma jest liczbą wymierną, którą trzeba obliczyć.

Przyrównałem tą sumę do liczby A. Podniosłem do potęgi 3. , skorzystałem ze wzorów Cardano i rozwiązanie wyszło niestety A=A. ??? Czyli jeszcze nad tym trzeba pomyśleć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 usunięcie niewymierności z podanych przykładów  klawiatur  15
 uproszczenie pierwiastka - zadanie 3  qwadrat  3
 Usuwanie niewymierności - zadanie 35  wirher  11
 Potęga w formie pierwiastka  patlas  5
 Usuwanie nierówności. potęgi i pierwiastki  kaer  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl